Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

a ) lim x → 0 ⁡ x - a r c s e n   x s e n 3 x

Passo 1

Faaaaala pessoa, tudo tranquilo com vocês?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 0 ⁡ x - a r c s e n   x s e n 3 x

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

E aí, pegaram a ideia?

Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, temos o limite:

lim x → 0 ⁡ x - a r c s e n   x s e n 3 x

Ou seja, o numerador é:

f x = x - a r c s e n   x

E, o denominador é:

g x = s e n 3 x

Vamos analisar para qual o valor que o numerador estará tendendo quando x → 0 .

lim x → 0 ⁡ x - a r c s e n   x

Como x tende a 0 e a r c s e n   x também tende a 0 , temos:

lim x → 0 ⁡ x - a r c s e n   x = 0

Massa! Vamos analisar agora o denominador:

lim x → 0 ⁡ s e n 3 x = 0

pois o s e n o tende a 0 , quando x → 0 .

Assim, caímos em uma das condições para aplicação da regra de L’Hospital!

Passo 3

Usando a regra de L’Hospital, temos que:

lim x → 0 ⁡ x - a r c s e n   x s e n 3 x

= lim x → 0 ⁡ x - a r c s e n   x ' s e n 3 x '

A derivada do numerador vale:

x - a r c s e n   x ' = 1 - 1 1 - x 2

Já a do denominador, vale:

s e n 3 x ' = 3 s e n 2 x ⋅ s e n   x '

= 3 s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x

Daí, ficamos com:

lim x → 0 ⁡ x - a r c s e n   x ' s e n 3 x ' = lim x → 0 ⁡ 1 - 1 1 - x 2 3 s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x

Substituindo o valor que x está tendendo, temos:

lim x → 0 ⁡ 1 - 1 1 - x 2 3 s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x → 1 - 1 1 - 0 2 3 ⋅ 0 ⋅ 1

Puts... continuamos com um numerador e denominador tendendo a 0 .

Logo, precisamos aplicar L’Hospital mais uma vez...

Assim:

lim x → 0 ⁡ 1 - 1 1 - x 2 3 s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 1 - 1 1 - x 2 ' ( 3 s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x ) '

Vamos começar reescrevendo o numerador:

1 - 1 1 - x 2 = 1 - 1 - x 2 - 1 2

Derivando, temos:

1 - 1 - x 2 - 1 2 ' = 0 - - 1 2 ⋅ 1 - x 2 - 3 2 ⋅ - 2 x

O que irá nos dar:

- x 1 - x 2 3 2

Já quando ao denominador, temos:

3 s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x

Como:

s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x

Vem que:

3 s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x = 3 cos ⁡ x - 3 cos 3 ⁡ x

Beleza, vamos derivar!

3 cos ⁡ x - 3 c os 3 ⁡ x ' = - 3 s e n x - 9 cos 2 ⁡ x ⋅ ( - s e n   x )

=   - 3 s e n x + 9 s e n x ⋅ cos 2 ⁡ x

Voltando então ao nosso limite, vamos ter:

lim x → 0 ⁡ 1 - 1 1 - x 2 ' ( 3 s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x ) ' = lim x → 0 ⁡ - x - 3 s e n x - 9 cos 2 ⁡ x ⋅ - s e n   x 1 - x 2 3 2

Pessoal, se aplicarmos o limite agora, iremos novamente ter algo do tipo 0 / 0 .

Pois, tanto o numerador irá zerar ( x → 0 ) , como o denominador ( s e n   x → 0 ) .

Assim, teremos que aplicar L’Hospital mais uma vez...

FÉ GENTE!!

Passo 4

Aplicando L’Hospital mais uma vez, teremos que:

lim x → 0 ⁡ - x - 3 s e n x - 9 cos 2 ⁡ x ⋅ - s e n   x 1 - x 2 3 2

= lim x → 0 ⁡ - x ' - 3 s e n x - 9 cos 2 ⁡ x ⋅ - s e n   x 1 - x 2 3 2 '

A derivada do numerador é bem tranquila, teremos:

- x ' = - 1

Já a derivada do denominador, será:

- 3 s e n x + 9 cos 2 ⁡ x ⋅ s e n   x 1 - x 2 3 2 '

Precisamos usar a regra do produto. Para isso, vamos calcular primeiro a derivada do termo:

- 3 s e n x + 9 cos 2 ⁡ x ⋅ s e n   x

Ela vale:

- 3 cos ⁡ x + 9 cos 3 ⁡ x + 9 ⋅ 2 ⋅ cos ⁡ x ⋅ - s e n x ( s e n x )

Simplificando um pouco, temos:

9 cos 3 ⁡ x - 18 s e n 2 x ⋅ c o s x - 3 cos ⁡ x

Vamos agora calcular a derivada do outro termo do denominador:

1 - x 2 3 2

Temos:

1 - x 2 3 2 ' = 3 2 ⋅ 1 - x 2 1 2 ⋅ - 2 x

=   - x ⋅ 1 - x 2 1 2

Beleza!

Daí, vamos aplicar a regra do produto para calcular a derivada desses termos, ou seja:

p ⋅ q ' = p ' ⋅ q + p ⋅ q '

Vamos ter:

- 3 s e n x + 9 cos 2 ⁡ x ⋅ s e n   x 1 - x 2 3 2 ' =

= 9 cos 3 ⁡ x - 18 s e n 2 x ⋅ c o s x - 3 cos ⁡ x ⋅ 1 - x 2 3 2 + - 3 s e n x + 9 cos 2 ⁡ x ⋅ s e n   x ⋅ - x ⋅ 1 - x 2 1 2

Muito bom!

Voltando então ao limite vamos ter que:

lim x → 0 ⁡ - x ' - 3 s e n x - 9 cos 2 ⁡ x ⋅ - s e n   x 1 - x 2 3 2 ' =

lim x → 0 ⁡ - 1 9 cos 3 ⁡ x - 18 s e n 2 x ⋅ c o s x - 3 cos ⁡ x ⋅ 1 - x 2 3 2 + - 3 s e n x + 9 cos 2 ⁡ x ⋅ s e n   x ⋅ - x ⋅ 1 - x 2 1 2

Agora nem dá mais para aplicarmos novamente L’Hospital, pois o numerador é 1 . Então vai ter que dá certo haha!

Vamos substituir na nossa função o valor que x está tendendo, ou seja, 0 . No denominador, teremos:

9 cos 3 ⁡ x - 18 s e n 2 x ⋅ c o s x - 3 cos ⁡ x ⋅ 1 - x 2 3 2 + - 3 s e n x + 9 cos 2 ⁡ x ⋅ s e n   x ⋅ - x ⋅ 1 - x 2 1 2 =

= 9 - 3 ⋅ 1 - 0 3 2 + 0 + 0 ⋅ 0 ⋅ 1

= 6

Logo, vamos ter que:

lim x → 0 ⁡ - x ' - 3 s e n x - 9 cos 2 ⁡ x ⋅ - s e n   x 1 - x 2 3 2 ' = - 1 6

Portanto, finalmente encontramos que:

lim x → 0 ⁡ x - a r c s e n   x s e n 3 x = - 1 6

É galerinha... deu um trabalho, bom mas saiu!

Obrigado pela atenção de vocês e até a próxima 😊

Resposta

- 1 6

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)