UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 4.2.4a
Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.
Passo 1
Fala aí galera, tudo bom?
Nessa questão precisamos calcular o limite:
usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?
Bora dar uma revisada!
Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:
Numerador e denominador tendem a zero ;
Numerador e denominador tendem a infinito ;
O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.
Ou seja, se estamos calculando:
E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:
Tranquilo?
Mas, para podermos verificar se o problema está dentro das regras de L’Hospital, precisaremos antes transformá-lo em uma fração. Pra fazer isso, a ideia é usarmos a propriedade das exponenciais que:
Show de bola! Vamo nessa!
Passo 2
Bom, vamos usar a propriedade que comentamos no passo anterior para escrever:
Pela propriedade do limite e continuidade, podemos jogar o limite para cima do expoente. Daí:
Pela propriedade do logaritmo, podemos passar o expoente multiplicando o . Daí:
Muito bom! Conseguimos colocar o limite de uma fração.
Temos que calcular:
Vamos então substituir o valor que assume dentro do nosso limite:
Opaaa! Caímos na regra de L’Hospital.
Passo 3
Vamos derivar o numerador e o denominador para aplicar o limite novamente.
Começando pelo numerador:
Já no numerador, temos:
Substituindo esses resultados em nosso limite, temos:
Quando , teremos:
Daí, voltando para a nossa expressão do cálculo de , temos:
Substituindo o resultado que achamos:
Logo:
Prontinho pessoal!
Curtiram a solução? Responde Aí!