Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

a ) lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x 2 - 3 x + 2  

Passo 1

Fala galera, como é que vocês estão?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x 2 - 3 x + 2

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

E aí, pegaram a ideia?

Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.

Vamo nessa!

Passo 2

Vamos começar substituindo o valor que x está tendendo dentro do nosso limite.

Assim:

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x 2 - 3 x + 2 = 2 2 + 2 - 6 2 2 - 3 ⋅ 2 + 2

= 0 0

Opaaa...Temos um 0 / 0 , logo podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Daí, precisamos calcular a derivada do numerador e do denominador.

Começando pela derivada do numerador, temos:

x 2 + x - 6 ' = 2 x + 1

Já para o denominador, temos:

x 2 - 3 x + 2 ' = 2 x - 3

Muito bom!

Voltando para o limite, vamos ter:

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x 2 - 3 x + 2 = lim x → 2 ⁡ 2 x + 1 2 x - 3

Agora sim, substituindo o valor que x está tendendo dentro do limite, vem que:

lim x → 2 ⁡ 2 x + 1 2 x - 3 = 2 ⋅ 2 + 1 2 ⋅ 2 - 3

= 5 1

Portanto:

lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x 2 - 3 x + 2 = 5

E é isso galera!

Espero que vocês tenham curtido a solução, até a próxima!!

Resposta

5

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2