UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 4.2.5b
Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.
Passo 1
Olá olá olá pessoaaaaal, tudo bem?
Nessa questão precisamos calcular o limite:
usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?
Bora dar uma revisada!
Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:
Numerador e denominador tendem a zero ;
Numerador e denominador tendem a infinito ;
O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.
Ou seja, se estamos calculando:
E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:
E aí, pegaram a ideia?
Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.
Vamo nessa!
Passo 2
Para começar, vamos escrever a expressão dentro do limite em uma única fração.
Daí, temos:
Voltando para o limite, vamos ter:
Para verificar se ele atende a alguma das condições da regra de L’Hospital, vamos substituir o valor que está tendendo dentro do limite:
Opaaa...temos um , logo podemos aplicar L’Hospital.
Passo 3
Para aplicar L’Hospital, vamos começar calculando a derivada do numerador e do denominador.
Começando pelo numerador, temos:
Já derivando o denominador, temos:
Daí, voltando para o limite, temos:
Agora sim, substituindo o valor que está tendendo, temos:
Portanto:
E aí, conseguiram entender a solução?
Responde Aí!