Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

a ) lim x → 0 + ⁡ x e 1 x

Passo 1

Olá pessoal, tudo certo por aí?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 0 + ⁡ x e 1 x

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

E aí, pegaram a ideia?

Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.

Vamo nessa!

Passo 2

Antes de tudo, vamos deixar o limite dado com uma fração dentro dele. Assim poderemos avaliar se ele satisfaz ou não a regra de L’Hospital.

Temos:

x e 1 x = e 1 x 1 x

Daí, podemos fazer ainda uma mudança de variável:

1 x = u

Logo, se x → 0 + :

u → + ∞

Então, reescrevemos o limite como:

lim x → 0 + ⁡ x e 1 x = lim u → + ∞ ⁡ e u u

Excelente!

Agora vamos verificar se esse limite satisfaz às condições para aplicação da regra de L’Hospital.

Quando u → ∞ , e u → ∞ . Portanto:

lim u → + ∞ ⁡ e u u → ∞ ∞

Opaaaa, muito bom! Isso significa que podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Para aplicar a regra de L’Hospital, vamos calcular separadamente a derivada do numerador e a derivada do denominador.

e u ' = e u

Já para o denominador:

u ' = 1

Assim, temos:

lim u → + ∞ ⁡ e u u = lim u → + ∞ ⁡ e u 1

Como já vimos, quando u → ∞ , e u → + ∞ .

Portanto:

lim x → 0 + ⁡ x e 1 x → + ∞

Excelente!

Obrigado pela atenção pessoal, e até a próxima 😉

Resposta

+ ∞

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)