UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 4.2.6a
Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.
Passo 1
Olá pessoal, tudo certo por aí?
Nessa questão precisamos calcular o limite:
usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?
Bora dar uma revisada!
Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:
Numerador e denominador tendem a zero ;
Numerador e denominador tendem a infinito ;
O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.
Ou seja, se estamos calculando:
E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:
E aí, pegaram a ideia?
Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.
Vamo nessa!
Passo 2
Antes de tudo, vamos deixar o limite dado com uma fração dentro dele. Assim poderemos avaliar se ele satisfaz ou não a regra de L’Hospital.
Temos:
Daí, podemos fazer ainda uma mudança de variável:
Logo, se :
Então, reescrevemos o limite como:
Excelente!
Agora vamos verificar se esse limite satisfaz às condições para aplicação da regra de L’Hospital.
Quando , . Portanto:
Opaaaa, muito bom! Isso significa que podemos aplicar L’Hospital.
Passo 3
Para aplicar a regra de L’Hospital, vamos calcular separadamente a derivada do numerador e a derivada do denominador.
Já para o denominador:
Assim, temos:
Como já vimos, quando , .
Portanto:
Excelente!
Obrigado pela atenção pessoal, e até a próxima 😉