UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 4.2.3c
Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.
Passo 1
Fala pessoal, tudo bom com vocês?
Nessa questão precisamos calcular o limite:
usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?
Bora dar uma revisada!
Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:
Numerador e denominador tendem a zero ;
Numerador e denominador tendem a infinito ;
O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.
Ou seja, se estamos calculando:
E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:
E aí, pegaram a ideia?
Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.
Vamo nessa!
Passo 2
Bom, vamos começar transformando a nossa expressão em uma única fração:
Voltando para o limite, temos:
Se , podemos substituir no nosso limite. Vamos ter:
Ou seja, uma indeterminação. Vamos aplicar a regra de L’Hospital. Começando pela derivada do numerador, temos:
Já para a derivada do denominador, temos:
Voltando para o limite, temos:
Podemos simplificar os senos no numerador e denominador. Assim, ficamos com:
Fazendo , temos novamente algo do tipo:
Assim, vamos precisar aplicar L’Hospital mais uma vez...
Passo 3
Temos o limite:
Derivando em cima e embaixo novamente, temos:
Derivando o denominador, temos:
Substituindo no limite, vem que:
Simplificando o no numerador e no denominador, temos:
Daí, substituindo o valor de quando ele tende a , temos:
Portanto:
E é isso pessoal!
Obrigado pela atenção de vocês!
Até a próxima 😉