Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

f ) lim x → 1 - ⁡ 1 - x cos ⁡ π x 2

Passo 1

E aí meus queridos, como vocês estão?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 1 - ⁡ 1 - x cos ⁡ π x 2

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

Tranquilo?

Mas, para podermos verificar se o problema está dentro das regras de L’Hospital, precisaremos antes transformá-lo em uma fração. Pra fazer isso, a ideia é usarmos a propriedade das exponenciais que:

a = e ln ⁡ a

Show de bola! Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos usar a propriedade que comentamos no passo anterior para escrever:

L = lim x → 1 - ⁡ 1 - x cos ⁡ π x 2 = lim x → 1 - ⁡ 1 - x cos ⁡ π x 2

Pela propriedade do limite e continuidade, podemos jogar o limite para cima do expoente. Daí:

L = e lim x → 1 - ⁡ ln ⁡ 1 - x cos ⁡ π x 2

Pela propriedade do logaritmo, podemos passar o expoente multiplicando o l n . Daí:

L = e lim x → 1 - ⁡ c o s ⁡ ( π x 2 ) ⋅ ln ⁡ ( 1 - x )

∴ L = e lim x → 1 - ⁡ ln ⁡ 1 - x 1 cos ⁡ π x 2

Muito bom! Conseguimos colocar no formato do limite de uma fração.

Temos que calcular:

lim x → 1 - ⁡ ln ⁡ 1 - x 1 cos ⁡ π x 2

Vamos substituir o número que x está tendendo dentro do limite:

lim x → 1 - ⁡ ln ⁡ 1 - x 1 cos ⁡ π x 2 = ln ⁡ 1 - 1 1 cos ⁡ π 2

→   - ∞ ∞

Opa, temos uma indeterminação na qual podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Excelente!

Passo 3

Para aplicar a regra de L’Hospital, vamos começar derivando o numerador da fração:

ln ⁡ 1 - x ' = 1 1 - x

Já para a derivada do denominador, temos:

1 cos ⁡ π x 2 ' = 1 cos 2 ⁡ π x 2 ⋅ s e n π x 2 ⋅ π 2

Substituindo no limite, ficamos com:

lim x → 1 - ⁡ ln ⁡ 1 - x 1 cos ⁡ π x 2 = lim x → 1 - ⁡ 1 1 - x s e n π x 2 ⋅ π 2 cos 2 ⁡ π x 2

= lim x → 1 - ⁡ cos 2 ⁡ π x 2 1 - x s e n π x 2 ⋅ 2 π

Puts, ainda continuamos com a indeterminação. Vamos derivar mais uma vez...

cos 2 ⁡ π x 2 ' = - 2 cos ⁡ π x 2 ⋅ s e n π x 2 ⋅ π 2

Já para o numerador, temos:

1 - x s e n π x 2 ' = - 1 ⋅ s e n π x 2 + 1 - x ⋅ cos ⁡ π x 2 ⋅ π 2

Daí, substituindo no limite, ficamos com:

lim x → 1 - ⁡ ( - 2 cos ⁡ π x 2 ⋅ s e n π x 2 ⋅ π 2 ) - 1 ⋅ s e n π x 2 + 1 - x ⋅ cos ⁡ π x 2 ⋅ π 2 ⋅ 2 π

Substituindo o valor que x está tendendo, encontramos que:

lim x → 1 - ⁡ ( - 2 cos ⁡ π x 2 ⋅ s e n π x 2 ⋅ π 2 ) - 1 ⋅ s e n π x 2 + 1 - x ⋅ cos ⁡ π x 2 ⋅ π 2 ⋅ 2 π = 1

Portanto, voltando para L :

L = e lim x → 1 - ⁡ ln ⁡ 1 - x 1 cos ⁡ π x 2

∴ L = e 1

Ufaaa! Finalmente terminamos essa questão.

Obrigado pela atenção de todos pessoal, até a próxima 😊

Resposta

e

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)