UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 4.2.5d
Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.
Passo 1
Ooieee, tudo certinho por aí?
Nessa questão precisamos calcular o limite:
usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?
Bora dar uma revisada!
Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:
Numerador e denominador tendem a zero ;
Numerador e denominador tendem a infinito ;
O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.
Ou seja, se estamos calculando:
E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:
E aí, pegaram a ideia?
Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.
Vamo nessa!
Passo 2
Bom, antes de tudo, vamos transformar essa expressão do limite em uma fração.
Temos:
Ótimo. Vamos substituir o valor que está tendendo para verificar se esse limite satisfaz às condições da regra de L’Hospital.
Ficamos com:
Opaaa! Excelente, encontramos , logo podemos aplicar L’Hospital!
Passo 3
Começando pela derivada do numerador, temos:
Já para a derivada do denominador, temos:
Voltando para o limite, temos:
Se substituirmos dentro do limite, veremos que ainda estamos com uma indeterminação (agora ). Por isso, vamos aplicar L’Hospital mais uma vez:
Já para o denominador:
Daí, voltando para o limite, temos:
Logo:
Perfeitoo!
Tamo junto galera, até a próxima 😉