UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 4.2.1f
Calcule os limites abaixo usando as regras de L’Hospital.
(f)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o limite usando as regras de L’Hospital. Lembra delas?
Essas regrinhas nos salvam em diversos casos, porque podemos aplicar L’Hospital sempre que nos deparamos com um indeterminação dos tipos , , , , e .
No caso do quociente, a regra de L’Hospital vai nos permitir derivar a função no numerador e a função no denominador separadamente, e calcular o nosso limite em uma expressão mais simples. Quando caímos em outros casos, vamos tentar escrever nossa função como um quociente e aplicar a mesma regra, se necessário. É isso que nós vamos fazer nesse caso.
Vamos lá!
Passo 2
Nós precisamos calcular:
Repare que em , nós temos uma indeterminação do tipo. Pra escaparmos ilesos dessa, vamos transformar esse produto em um quociente para aplicarmos a regra de L’Hospital. Assim, temos:
Agora aplicando L’Hospital, vamos derivar separadamente em cima e embaixo:
Fazendo a divisão de frações e simplificando:
Agora repare que quando vai tendendo a , ele vai ficando cada vez maior. E como temos uma constante no numerador da fração, o resultado da nossa divisão vai ficando cada vez menor e se aproximando cada vez mais de zero. Sendo assim, sabendo , vamos ter:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉