Calcule os limites abaixo usando as regras de L’Hospital.

(f) lim x → + ∞ ⁡ x sin ⁡ 1 x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite usando as regras de L’Hospital. Lembra delas?

Essas regrinhas nos salvam em diversos casos, porque podemos aplicar L’Hospital sempre que nos deparamos com um indeterminação dos tipos ∞ ∞ , 0 0 , 0 ∙ ∞ , ∞ - ∞ , 1 ∞ e 0 0 .

No caso do quociente, a regra de L’Hospital vai nos permitir derivar a função no numerador e a função no denominador separadamente, e calcular o nosso limite em uma expressão mais simples. Quando caímos em outros casos, vamos tentar escrever nossa função como um quociente e aplicar a mesma regra, se necessário. É isso que nós vamos fazer nesse caso.

Vamos lá!

Passo 2

Nós precisamos calcular:

lim x → + ∞ ⁡ x sin ⁡ 1 x

Repare que em x = + ∞ , nós temos uma indeterminação do tipo 0 ∙ ∞ . Pra escaparmos ilesos dessa, vamos transformar esse produto em um quociente para aplicarmos a regra de L’Hospital. Assim, temos:

lim x → + ∞ ⁡ sin ⁡ 1 x 1 x

Agora aplicando L’Hospital, vamos derivar separadamente em cima e embaixo:

lim x → + ∞ ⁡ - cos ⁡ 1 x x 2 - 1 x 2

Fazendo a divisão de frações e simplificando:

lim x → + ∞ ⁡ - cos ⁡ 1 x x 2 ∙ - x 2

lim x → + ∞ ⁡ cos ⁡ 1 x

Agora repare que quando x vai tendendo a + ∞ , ele vai ficando cada vez maior. E como temos uma constante no numerador da fração, o resultado da nossa divisão vai ficando cada vez menor e se aproximando cada vez mais de zero. Sendo assim, sabendo cos ⁡ ( 0 ) = 1 , vamos ter:

lim x → + ∞ ⁡ cos ⁡ 1 x = 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)