Calcule

d) lim x → 0 ⁡ x - t g   x x 3

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Perceba que há uma indeterminação do tipo “ 0 0

lim x → 0 ⁡ x - t g   x x 3 = 0 - 0 0 = 0 0

Então vamos aplicar L’Hospital para resolver esse limite!

Passo 2

Vamos derivar o numerador e denominador

lim x → 0 ⁡ x - t g   x x 3 = lim x → 0 ⁡ x - t g   x ' x 3 '

Derivando ficamos com,

lim x → 0 ⁡ x - t g   x x 3 = lim x → 0 ⁡ 1 - sec 2 ⁡ x 3 x 2

Lembrando que tg ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x .

A gente ainda pode reescrever essa função de outra forma aplicando a seguinte identidade trigonométrica,

sec 2 ⁡ x = 1 + tg 2 ⁡ x

Logo,

lim x → 0 ⁡ 1 - 1 + t g 2   x 3 x 2 = lim x → 0 ⁡ - t g 2   x 3 x 2

Aplicando o limite, chegamos na mesma indeterminação,

lim x → 0 ⁡ - t g 2   x 3 x 2 = 0 0

Vamos sair dessa indeterminação!

Passo 3

Vamos escrever o limite assim:

lim x → 0 ⁡ - t g 2   x 3 x 2 = lim x → 0 ⁡ - s e n   x cos ⁡ x 2 3 x 2 = lim x → 0 ⁡ - 1 3 cos 2 ⁡ x s e n   x x 2

A gente pode escrever esse limite como um produto,

lim x → 0 ⁡ - 1 3 cos 2 ⁡ x s e n   x x 2 = lim x → 0 ⁡ - 1 3 cos 2 ⁡ x lim x → 0 ⁡ s e n   x x 2

Assim, podemos fazer aparecer o limite fundamental lim x → 0 ⁡ s e n   x x = 1 , o que simplifica a nossa vida:

lim x → 0 ⁡ - t g 2   x 3 x 2 = lim x → 0 ⁡ - 1 3 cos 2 ⁡ x . 1 = lim x → 0 ⁡ - 1 3 cos 2 ⁡ x = - 1 3

Logo,

lim x → 0 ⁡ x - t g   x x 3 = - 1 3

Resposta

lim x → 0 ⁡ x - t g   x x 3 = - 1 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)