UFSC; Cálculo 1; Lista 1.2 – Limites: unicidade e propriedades; Exercício C5
C5. Dada a função , calcule
Passo 1
Faaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês?? Bora lá resolver mais uma questão!!
Esse exercício aqui começa nos dando uma função e nos pede para calcular o limite: .
É um desses exercícios bem típicos do cálculo 1, em que ele já sai nos mandando calcular, e deixa para que nós façamos sozinhos as interpretações necessárias para a sua resolução.
Então vamos lá analisar certinho e ver o que podemos fazer aqui!
Antes de qualquer coisa, vamos observar ali no limite, que se substituirmos no denominador, teremos uma indeterminação matemática, pois teremos um numerador dividido por 0!
Tá, mas porque isso é importante?
Isso é importante pois é um sinal de que devemos manipular aquela divisão, para que essa indeterminação matemática deixe de existir, e consigamos resolver o nosso probleminha!
Mas como vamos fazer isso?
Antes de qualquer coisa, vamos notar ali no nosso numerador, que podemos substituir que foi dado no enunciado, e que podemos descobrir também quanto vale !
Bora lá então!
Passo 2
Do enunciado, sabemos que: , então, começaremos descobrindo quanto vale !
Agora, podemos substituir o nosso numerador:
Show! Mas ainda temos aquela nossa indeterminação presente ali...
O que podemos fazer para que ela desapareça?
Nesses casos, como se substituirmos na nossa função, teremos como resultado , podemos recorrer à Regra de L’Hopital e fazer com essa indeterminação suma!
Mas o que é essa regrinha mesmo?
Ela permite a derivação do numerador e denominador, quando temos esse caso específico que mencionamos de indeterminação!
Então, podemos afirmar que:
Bora lá resolver isso então!
Passo 3
Fazendo as derivadas, vamos ter o seguinte:
Olha só que legal! Agora podemos substituir e resolver o nosso limite!
Mas antes, vamos observar o seguinte: aquele 12 no numerador é uma constante, e, portanto, pode ser removida do nosso limite:
E pra resolver esse limite agora basta substituir ali dentro? Não!!!
Temos uma raiz quadrada no denominador! Então devemos aplicar a propriedade do limite de raízes, que diz que: .
Então, vamos ter que:
Vamos notar também, que agora dentro da raiz temos uma subtração! Então podemos aplicar a propriedade da subtração de limites que diz que: :
Agora sim podemos substituir :
Prontinho! Pra essa questão é isso pessoal!
O segredo de exercícios assim é sempre lembrar dessas propriedades chave! Então já deixa anotado no seu caderninho aí e vamo que vamo!!
Bora lá resolver mais uma questãozinha?