C5. Dada a função f x = 24 x - 63 , calcule

lim x → 3 ⁡ f x - f ( 3 ) x - 3  

Passo 1

Faaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês?? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse exercício aqui começa nos dando uma função f ( x ) e nos pede para calcular o limite: lim x → 3 ⁡ f x - f ( 3 ) x - 3 .

É um desses exercícios bem típicos do cálculo 1, em que ele já sai nos mandando calcular, e deixa para que nós façamos sozinhos as interpretações necessárias para a sua resolução.

Então vamos lá analisar certinho e ver o que podemos fazer aqui!

Antes de qualquer coisa, vamos observar ali no limite, que se substituirmos x → 3 no denominador, teremos uma indeterminação matemática, pois teremos um numerador dividido por 0!

Tá, mas porque isso é importante?

Isso é importante pois é um sinal de que devemos manipular aquela divisão, para que essa indeterminação matemática deixe de existir, e consigamos resolver o nosso probleminha!

Mas como vamos fazer isso?

Antes de qualquer coisa, vamos notar ali no nosso numerador, que podemos substituir f ( x ) que foi dado no enunciado, e que podemos descobrir também quanto vale f ( 3 ) !

Bora lá então!

Passo 2

Do enunciado, sabemos que: f x = 24 x - 63 , então, começaremos descobrindo quanto vale f ( 3 ) !

f 3 = 24 * 3 - 63 = 9 = 3

Agora, podemos substituir o nosso numerador:

lim x → 3 ⁡ f x - f ( 3 ) x - 3 = lim x → 3 ⁡ 24 x - 63 - 3 x - 3  

Show! Mas ainda temos aquela nossa indeterminação presente ali...

O que podemos fazer para que ela desapareça?

Nesses casos, como se substituirmos x → 3 na nossa função, teremos como resultado 0 0 , podemos recorrer à Regra de L’Hopital e fazer com essa indeterminação suma!

Mas o que é essa regrinha mesmo?

Ela permite a derivação do numerador e denominador, quando temos esse caso específico que mencionamos de indeterminação!

Então, podemos afirmar que:

lim x → 3 ⁡ 24 x - 63 - 3 x - 3 = lim x → 3 ⁡ 24 x - 63 - 3 ' x - 3 '

Bora lá resolver isso então!

Passo 3

Fazendo as derivadas, vamos ter o seguinte:

lim x → 3 ⁡ 24 x - 63 - 3 ' x - 3 ' = lim x → 3 ⁡ 12 24 x - 63 1 = lim x → 3 ⁡ 12 24 x - 63

Olha só que legal! Agora podemos substituir x e resolver o nosso limite!

Mas antes, vamos observar o seguinte: aquele 12 no numerador é uma constante, e, portanto, pode ser removida do nosso limite:

12 * lim x → 3 ⁡ 1 24 x - 63

E pra resolver esse limite agora basta substituir x ali dentro? Não!!!

Temos uma raiz quadrada no denominador! Então devemos aplicar a propriedade do limite de raízes, que diz que: lim ⁡ f x n = l i m ⁡ f x n .

Então, vamos ter que:

12 * lim x → 3 ⁡ 1 24 x - 63 = 12 * 1 l i m x → 3 24 x - 63

Vamos notar também, que agora dentro da raiz temos uma subtração! Então podemos aplicar a propriedade da subtração de limites que diz que: lim ⁡ f x - g x = lim ⁡ f x - l i m ⁡ g ( x ) :

12 * 1 l i m x → 3 24 x - 63 = 12 * 1 l i m x → 3 24 x - l i m x → 3   63

Agora sim podemos substituir x :

12 * 1 l i m x → 3 24 x - l i m x → 3   63 = 12 * 1 24 * 3 - 63 = 12 9 = 12 3 = 4

Prontinho! Pra essa questão é isso pessoal!

O segredo de exercícios assim é sempre lembrar dessas propriedades chave! Então já deixa anotado no seu caderninho aí e vamo que vamo!!

Bora lá resolver mais uma questãozinha?

Resposta

lim x → 3 ⁡ f x - f ( 3 ) x - 3 = 4

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)