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Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Provas - Profº Filipe Iori - P1 2022.2, Questão 1b

1) Encontre, caso existam, os limites abaixo:

b) lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x sin ⁡ x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que verificar se o limite lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x sin ⁡ x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x existe ou não.

Parece complicado? 🤔

Se aplicarmos o método de substituição diretamente, vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 .

Nesses casos, a melhor forma de contornar esse problema é aplicar o método de L ' H o p i t a l .

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador separadamente e recalcular o limite.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Aplicando o método de L ' H o p i t a l no nosso limite, temos

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x sin ⁡ x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x = lim x → 2 ⁡ d x 2 - 2 x sin ⁡ x 2 - 4 d x d x 2 + 4 - 4 x d x

A derivada do numerador pode ser calculada a partir da regra do produto, ou seja

d x 2 - 2 x sin ⁡ x 2 - 4 d x = d x 2 - 2 x d x · sin ⁡ x 2 - 4 + x 2 - 2 x · d sin ⁡ x 2 - 4 d x

d x 2 - 2 x sin ⁡ x 2 - 4 d x = 2 x - 2 · sin ⁡ x 2 - 4 + x 2 - 2 x · 2 x · co s ⁡ x 2 - 4

d x 2 - 2 x sin ⁡ x 2 - 4 d x = 2 x - 2 sin ⁡ x 2 - 4 + 2 x 3 - 4 x 2 cos ⁡ x 2 - 4

Agora no denominador pela regra da cadeia...

d x 2 + 4 - 4 x d x = x x 2 + 4 - 2 4 x

Substituindo os resultados no limite, vamos obter

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x sin ⁡ x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x = lim x → 2 ⁡ d x 2 - 2 x sin ⁡ x 2 - 4 d x d x 2 + 4 - 4 x d x

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x sin ⁡ x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x = lim x → 2 ⁡ 2 x - 2 sin ⁡ x 2 - 4 + 2 x 3 - 4 x 2 cos ⁡ x 2 - 4 x x 2 + 4 - 2 4 x

Ainda assim se aplicarmos o método da substituição vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 .

E agora? o que temos que fazer? 😐

Passo 3

Podemos aplicar o método de L ' H o p i t a l quantas vezes quisermos. Então vamos tentar aplicar mais uma vez...

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x sin ⁡ x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x = lim x → 2 ⁡ d 2 x - 2 sin ⁡ x 2 - 4 + 2 x 3 - 4 x 2 cos ⁡ x 2 - 4 d x d x x 2 + 4 - 2 4 x d x

Calculando a derivada do numerador, temos

d 2 x - 2 sin ⁡ x 2 - 4 + 2 x 3 - 4 x 2 cos ⁡ x 2 - 4 d x = 2 sin ⁡ x 2 - 4 + 4 x 2 - 4 x cos ⁡ x 2 - 4 + 6 x 2 - 8 x cos ⁡ x 2 - 4 - 4 x 4 - 8 x 3 sin ⁡ x 2 - 4

Agora o denominador...

d x x 2 + 4 - 2 4 x d x = 4 x 2 + 4 x 2 + 4 + 1 2 x 2 x

Substituindo os resultados no limite, chegamos em

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x sin ⁡ x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x = lim x → 2 ⁡ d 2 x - 2 sin ⁡ x 2 - 4 + 2 x 3 - 4 x 2 cos ⁡ x 2 - 4 d x d x x 2 + 4 - 2 4 x d x

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x sin ⁡ x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x = lim x → 2 ⁡ 2 sin ⁡ x 2 - 4 + 4 x 2 - 4 x cos ⁡ x 2 - 4 + 6 x 2 - 8 x cos ⁡ x 2 - 4 - 4 x 4 - 8 x 3 sin ⁡ x 2 - 4 4 x 2 + 4 x 2 + 4 + 1 2 x 2 x

Aplicando o método de substituição

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x sin ⁡ x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x = 2 sin ⁡ 2 2 - 4 + 4 2 2 - 4 2 cos ⁡ 2 2 - 4 + 6 2 2 - 8 2 cos ⁡ 2 2 - 4 - 4 2 4 - 8 2 3 sin ⁡ 2 2 - 4 4 2 2 + 4 2 2 + 4 + 1 2 2 2 2

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x sin ⁡ x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x = 2 sin ⁡ 0 + 8 cos ⁡ 0 + 8 cos ⁡ 0 - 0 sin ⁡ 0 4 8 8 + 1 4 4

Continuando...

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x sin ⁡ x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x = 32 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x → 2 ⁡ x 2 - 2 x sin ⁡ x 2 - 4 x 2 + 4 - 4 x = 32 2

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
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Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)