Encontre o limite, se existir.

h) lim x → + ∞ ⁡ ( x - ln ⁡ x )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função y = ( x - ln ⁡ x ) quando x tende a infinito.

Pra isso, vamos fatorar a nossa expressão e analisar os limites do produto gerado nessa fatoração.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar colocando x em evidência na função, para escrevê-la como um produto na forma:

x - ln ⁡ x = x 1 - ln ⁡ x x

Assim, nosso limite vai ficar:

lim x → + ∞ ⁡ ( x - ln ⁡ x ) = lim x → + ∞ ⁡ x 1 - ln ⁡ x x

E o limite do produto é igual ao produto dos limites, então temos:

lim x → + ∞ ⁡ x ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 - ln ⁡ x x

A mesma coisa se aplica para a soma/substração. Então, podemos separar os limites do parênteses:

lim x → + ∞ ⁡ x ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 - lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x

Beleza, agora vamos analisar apenas o limite lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x , e depois nós voltamos pra nossa expressão.

Passo 3

Como a gente tem uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , podemos aplicar a regra de L’Hospital no limite lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x , derivando numerador e denominador separadamente. Fica assim:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 1

Simplificando:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x

E aplicando o limite:

= 1 ∞ = 0

Tranquilo, né? Agora vamos voltar pra nossa expressão do passo 2 :

lim x → + ∞ ⁡ x ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 - lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x

A gente descobriu que lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0 . Então, temos:

lim x → + ∞ ⁡ x ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 - 0

E o limite da constante é a própria constante:

lim x → + ∞ ⁡ x ∙ 1 - 0

= lim x → + ∞ ⁡ x

Assim, aplicando o limite, vamos ter:

= + ∞

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

+ ∞

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)