UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profª Sonia Berrios - Lista 2 - Limites, Continuidade e Derivadas, Questão 36g
Encontre o limite, se existir.
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Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função quando tende a zero pela direita, isto é, por valores positivos. Pra nos ajudar, vamos escrever essa função na forma exponencial:
A gente pode fazer isso porque o ln é a função inversa de , então não altera em nada nossa função. Assim, usando as propriedades de logaritmo, nosso limite vai ficar:
Assim, nós podemos aplicar a propriedade do limite da exponencial, que é dada por:
Então, se ambos os limites são finitos, temos que . E aí nos resta calcular apenas o limite da função do expoente, que no caso será:
Vamos lá!
Passo 2
Usando a identidade trigonométrica , podemos reescrever nosso limite como um quociente na forma:
Isso é interessante porque agora temos a forma de uma indeterminação do tipo . E quando a gente tem uma indeterminação desse tipo,podemos pensar em aplicar a regra de L’Hospital para nos ajudar.
Assim, vamos derivando numerador e denominador, separadamente, de acordo com a regra de L’Hospital, vamos ter:
Agora não temos mais indeterminação e podemos aplicar o valor do limite na função:
Substituindo esse resultado no limite da exponencial, como vimos no passo , temos:
E encontramos nosso resultado.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉