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Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

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Enunciado

Esboço de Curvas

Esboce, no espaço abaixo, o gráfico da função f x = x 2 x - 1 e - 1 x , determinando:

i v ) assíntotas, se existirem;

Passo 1

Bom, limites nas descontinuidades nos darão assíntotas verticais, no infinito nos darão as horizontais. Vamos a esses limites.

Começando com os limites das descontinuidades, aqui temos que fazer os limites laterais porque temos descontinuidades,

Começando com x → 0

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ x 2 x - 1 e - 1 x = - lim x → 0 - ⁡ e - 1 x 1 x 2 ⇒ L ' H - lim x → 0 - ⁡ 1 x 2 e - 1 x - 2 x 3

= - 1 2 lim x → 0 - ⁡ e - 1 x - 1 x ⇒ L ' H - 1 2 lim x → 0 - ⁡ - 1 x ' e - 1 x - 1 x ' = - 1 2 lim x → 0 - ⁡ e - 1 x = - ∞

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ x 2 x - 1 e - 1 x = 0 - 1 e - ∞ = 0

Agora com x → 1

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ x 2 x - 1 e - 1 x = 1 e lim x → 1 - ⁡ 1 x - 1 = - ∞

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ x 2 x - 1 e - 1 x = 1 e lim x → 1 + ⁡ 1 x - 1 = + ∞

Dessa forma temos assíntotas verticais sendo

x = 1

x = 0

Passo 2

Vamos agora aos limites com x indo para ± ∞

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ x 2 x - 1 e - 1 x = e 0 lim x → - ∞ ⁡ x 2 x - 1 ⇒ L ' H lim x → - ∞ ⁡ 2 x = - ∞

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → + ∞ ⁡ x 2 x - 1 e - 1 x = e 0 lim x → + ∞ ⁡ x 2 x - 1 ⇒ L ' H e 0 lim x → + ∞ ⁡ 2 x = + ∞

Isso nos diz que não temos assíntotas horizontais.

Passo 3

Falta a análise de assíntotas oblíquas:

lim x → + ∞ ⁡ f x x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 x 2 - x e - 1 x = 1 = m

lim x → - ∞ ⁡ f x - 1 x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 x - 1 e - 1 x - x = lim x → - ∞ ⁡ e - 1 x x 2 - x 2 + x x - 1

lim x → - ∞ ⁡ e - 1 x x - x + 1 1 - 1 / x = lim x → - ∞ ⁡ e - 1 x x - x + 1 = 1 + lim x → - ∞ ⁡ e - 1 x - 1 1 x

⇒ L ' H 1 + lim x → - ∞ ⁡ e - 1 x - 1 x ' 1 x = 1 - lim x → - ∞ ⁡ e - 1 x = 1 - e 0 = 1 - 1 = 0 = n

Logo, a assíntota oblíqua passa em y = x + 0 para x → + ∞ . Basta fazer a mesma análise para x → - ∞ e você achará o mesmo resultado de assíntota, analogamente.

Resposta

A s s í n t o t a   v e r t i c a l   e m   x = 0   e   x = 1 .  

N ã o   h á   a s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s .

A s s í n t o t a   o b l í q u a   e m   y = x

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Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)