UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 2ª Lista de Exercícios, Questão 3.2e
Nos itens que seguem, use a Regra de L’Hôspital onde for apropriado. Se existir um método
mais elementar, use-o. Se a Regra de L’Hôspital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão nos pede para calcular um limite onde vemos que há uma indeterminação porque, quando , ambos numerador e denominador vão à infinito e, além disso, o expoente também vai. Nossa primeira tentativa poderia ser a regra de L’Hospital, mas utilizando a regra de L’Hospital não nos livraríamos da indeterminação simplesmente derivando o numerador e o denominador. No entanto, podemos resolver o problema se lembrarmos a definição da constante de Euler
Sabendo disso, podemos resolver o nosso limite. Quer saber como? Então vamos lá!
Passo 2
Primeiramente, vamos reescrever a função da qual queremos obter o limite colocando 2x em evidência tanto no numerador quanto no denominador
Agora, podemos tirar o limite da função reescrita nessa forma. Utilizando a propriedade de limites na qual o limite do quociente é o quociente dos limites (desde que o denominador não seja nulo, que vem a ser o caso), obtemos
Agora, reconhecemos que a expressão tanto no numerador quanto no denominador é o limite que nos dá a constante de Euler elevada às constantes, e , respectivamente. Assim, temos que o limite da nossa expressão é
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!