Use a regra de L’Hopital para calcular os limites

li_m(x→∞) x * tg(1/x)

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Calc 1. Queremos calcular o limite

l i m x → ∞ x t g ( 1 x )

Usando L’Hopital.

Vamos revisar essa regra

A regra de L’Hopital diz que se tivermos um limite da forma

l i m x → a f ( x ) g ( x )

De forma que

f ( a ) / g ( a ) = 0 / 0

ou

f ( a ) / g ( a ) = ∞ / ∞

Então

l i m x → a f ( x ) g ( x ) = l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )

Passo 2

O limite é

l i m x → ∞ x t g ( 1 x )

= l i m x → ∞ x s i n ( 1 / x ) / c o s ( 1 / x )

Aplicando a regra do quociente para o limite

= l i m x → ∞ x s i n ( 1 / x ) / 1

Agora, vamos reescrever nosso limite

= l i m x → ∞ s i n ( 1 / x ) / ( 1 / x )

substituindo x = ∞ . Podemos ver que ele é da forma

0 / 0

Vamos aplicar a regra de L’Hopital. Derivando o numerador e o denominador

l i m x → ∞ s i n ( 1 / x ) / ( 1 / x ) = l i m x → ∞ c o s ( 1 / x )

= 1

Concluímos que o limite é 1

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

1

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