Use a regra de L’Hopital para calcular os limites

li_m(x→1+) x^(1/(1-x))

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Calc 1. Queremos calcular o limite

l i m x → 1 + x 1 / ( 1 - x )

Usando L’Hopital.

Vamos revisar essa regra

A regra de L’Hopital diz que se tivermos um limite da forma

l i m x → a f ( x ) g ( x )

De forma que

f ( a ) / g ( a ) = 0 / 0

ou

f ( a ) / g ( a ) = ∞ / ∞

Então

l i m x → a f ( x ) g ( x ) = l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )

Passo 2

O limite é

l i m x → 1 + x 1 / ( 1 - x )

= l i m x → 1 + e l n ( x ) / ( 1 - x )

Vamos analisar o

l i m x → 1 + l n ( x ) / ( 1 - x )

Note que quando x = 1 + temos algo da forma 0   / 0  

Vamos aplicar a regra de L’Hopital. Derivando

l i m x → 1 + l n ( x ) / ( 1 - x ) = l i m x → 1 + - 1 / x

= - 1

Logo,

= l i m x → 1 + e l n ( x ) / ( x - 1 )

= e - 1

Concluímos que o limite é 1 / e

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

1 / e

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