Use a regra de L’Hopital para calcular os limites

l(i) = (1 + 2/x)^(3x) quando x → ∞

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Calc 1. Queremos calcular o limite

l i m x → ∞ ( 1 + 2 / x ) 3 x

Usando L’Hopital.

Vamos revisar essa regra

A regra de L’Hopital diz que se tivermos um limite da forma

l i m x → a f ( x ) g ( x )

De forma que

f ( a ) / g ( a ) = 0 / 0

ou

f ( a ) / g ( a ) = ∞ / ∞

Então

l i m x → a f ( x ) g ( x ) = l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x )

Passo 2

O limite é

l i m x → ∞ ( 1 + 2 / x ) 3 x

= l i m x → ∞ e 3 x l n ( 1 + 2 / x )

Vamos analisar o

l i m x → ∞ 3 x * l n ( 1 + 2 / x )

= l i m x → ∞ l n ( 1 + 2 / x ) / 1 3 x

Note que quando x = ∞ temos algo da forma 0   / 0  

Vamos aplicar a regra de L’Hopital. Derivando

= l i m x → ∞ l n ( 1 + 2 / x ) / 1 3 x = l i m x → ∞ 1 1 + 2 / x * ( - 2 x - 2 ) / ( - 3 x - 2 )

= l i m x → ∞ 1 1 + 2 / x * 6

= 6

Logo,

= l i m x → ∞ e 3 x l n ( 1 + 2 / x )

= e 6

Concluímos que o limite é e 6

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

e 6

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