Use a regra de L’Hospital para calcular os seguintes limites:

s) lim x → π / 2 - ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite usando a regra de L’Hospital. Pra isso, basta a gente derivar numerador e denominador separado pra fugir de indeterminações do tipo ∞ ∞ ou 0 0 .

Mas e se a gente não tiver um quociente, tiver um produto por exemplo? Aí a gente escreve a função como um quociente e depois aplica a regra de L’Hospital, derivando em cima e embaixo. Mas nada de aplicar a regra do quociente na derivação, hein?

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → π / 2 - ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ x

Repare que a nossa função é y = cos ⁡ x cos ⁡ x . Então, se a gente calcular o ln dos dois lados da equação, vamos ter:

ln ⁡ y = ln ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ x

E aí pelas propriedades de logaritmos, conseguimos nos livrar do expoente, escrevendo:

ln ⁡ y = cos ⁡ x ln ⁡ ( cos ⁡ x )

Como a gente quer o limite, vamos escrevê-lo dos dois lados da equação:

l i m x → π / 2 - ln ⁡ y = l i m x → π / 2 - cos ⁡ x ln ⁡ ( cos ⁡ x )

Vamos nos concentrar, por enquanto, no limite da direita. Assim, vamos escrever esse produto como um quociente na forma:

l i m x → π / 2 - cos ⁡ x ln ⁡ ( cos ⁡ x ) = l i m x → π / 2 - ln ⁡ ( cos ⁡ x ) 1 cos ⁡ x

Mas 1 cos ⁡ x = sec ⁡ x , então temos:

l i m x → π / 2 - ln ⁡ ( cos ⁡ x ) sec ⁡ x

Agora vamos tentar fugir dessa indeterminação usando a regra de L’Hospital.

Passo 3

Derivando numerador e denominador separadamente, temos:

l i m x → π / 2 - - sin ⁡ x cos ⁡ x sec ⁡ x tan ⁡ x  

Usando a identidade sin ⁡ x cos ⁡ x = tan ⁡ x :

l i m x → π / 2 - - tan ⁡ x sec ⁡ x tan ⁡ x  

E simplificando:

l i m x → π / 2 - - 1 sec ⁡ x = l i m x → π / 2 - ( - cos ⁡ x )

Assim, quando x → π / 2 - , temos:

= 0

Passo 4

Mas calma, esse ainda não é nosso resultado. Lembra que no passo 2 definimos l i m x → π / 2 - ln ⁡ y = l i m x → π / 2 - ln ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ x ? Então, esse é o resultado de l i m x → π / 2 - ln ⁡ y :

l i m x → π / 2 - ln ⁡ y = 0

Mas a gente quer o limite de y = cos ⁡ x cos ⁡ x . Então, vamos jogar esse resultado na exponencial, pra cancelar o ln:

l i m x → 0 + e ln ⁡ y = e 0 = 1

Agora sim, encontramos nosso resultado.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)