Use a regra de L’Hospital para calcular os seguintes limites:

t) lim x → + ∞ ⁡ e x + x 1 / x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite usando a regra de L’Hospital. Pra isso, basta a gente derivar numerador e denominador separado pra fugir de indeterminações do tipo ∞ ∞ ou 0 0 .

Mas e se a gente não tiver um quociente, tiver um produto por exemplo? Aí a gente escreve a função como um quociente e depois aplica a regra de L’Hospital, derivando em cima e embaixo. Mas nada de aplicar a regra do quociente na derivação, hein?

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → + ∞ ⁡ e x + x 1 x

Repare que a nossa função é y = e x + x 1 x . Então, se a gente calcular o ln dos dois lados da equação, vamos ter:

ln ⁡ y = ln ⁡ e x + x 1 x

E aí pelas propriedades de logaritmos, conseguimos nos livrar do expoente, escrevendo:

ln ⁡ y = 1 x ln ⁡ e x + x

= ln ⁡ e x + x x

Como a gente quer o limite, vamos escrevê-lo dos dois lados da equação:

l i m x → + ∞ ln ⁡ y = l i m x → + ∞ ln ⁡ e x + x x

Vamos nos concentrar, por enquanto, no limite da direita e vamos tentar fugir dessa indeterminação usando a regra de L’Hospital.

Passo 3

Derivando numerador e denominador separadamente, temos:

l i m x → + ∞ 1 e x + x ∙ ( e x + 1 ) 1 = l i m x → + ∞ e x + 1 e x + x  

Continuamos na indeterminação, então vamos aplica a regra de L’Hospital de novo. Derivando em cima e embaixo:

l i m x → + ∞ e x e x + 1  

Ainda não foi dessa vez, então lá vamos nós de novo. Aplicando L’Hospital mais uma vez:

l i m x → + ∞ e x e x  

Simplificando:

= l i m x → + ∞ 1

= 1

Passo 4

Mas calma, esse ainda não é nosso resultado. Lembra que no passo 2 definimos l i m x → + ∞ ln ⁡ y = l i m x → + ∞ ln ⁡ e x + x 1 x ? Então, esse é o resultado de l i m x → + ∞ ln ⁡ y :

l i m x → + ∞ ln ⁡ y = 1

Mas a gente quer o limite de y = e x + x 1 x . Então, vamos jogar esse resultado na exponencial, pra cancelar o ln:

l i m x → + ∞ e ln ⁡ y = e 1 = e

Agora sim, encontramos nosso resultado.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

e

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)