UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 4 - Aplicação de Derivadas, Questão 24n
Use a regra de L’Hospital para calcular os seguintes limites:
n)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o limite usando a regra de L’Hospital. Pra isso, basta a gente derivar numerador e denominador separado pra fugir de indeterminações do tipo ou .
Mas e se a gente não tiver um quociente, tiver um produto por exemplo? Aí a gente escreve a função como um quociente e depois aplica a regra de L’Hospital, derivando em cima e embaixo. Mas nada de aplicar a regra do quociente na derivação, hein?
Vamos lá!
Passo 2
Nosso limite é dado por:
Repare que a nossa função é . Então, se a gente calcular o ln dos dois lados da equação, vamos ter:
E aí pelas propriedades de logaritmos, conseguimos nos livrar do expoente, escrevendo:
Como a gente quer o limite, vamos escrevê-lo dos dois lados da equação:
Vamos nos concentrar, por enquanto, no limite da direita. Assim, vamos escrever esse produto como um quociente na forma:
Agora temos uma indeterminação do tipo e podemos usar a regra de L’Hospital para nos salvar.
Passo 3
Derivando numerador e denominador separadamente, temos:
Simplificando esse negócio, vamos ficar com:
Mas e . Então, podemos escrever:
Agora vamos separar os termos em um produto, pra gente enxergar melhor o que acontece:
Daí, nós temos o limite fundamental , que é igual a , e a gente percebe que quando se aproxima de zero pela direita, temos . Assim, teremos:
Passo 4
Mas calma, esse ainda não é nosso resultado. Lembra que no passo definimos? Então, esse é o resultado de :
Mas a gente quer o limite de . Então, vamos jogar esse resultado na exponencial, pra cancelar o ln:
Agora sim, encontramos nosso resultado.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉