UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Raphael Constant - Lista 7 - Esboço de gráficos e Regra de L'Hôpital, Questão 5m
Utilizando a Regra de L’Hospital, determine os seguintes limites:
m)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o limite lateral da função , quando tende a zero pela direita, usando a regra de L’Hospital.
Pra isso, a gente precisa lembrar que a regra de L’Hospital existe para nos salvar das indeterminações do tipo e . Assim, quando a gente tem um quociente com indeterminação, nós derivamos numerador e denominador separadamente e depois aplicamos o limite.
Lembrando também que a gente aplicar a regra de L’Hospital quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação. E que quando temos um produto, também podemos transformar ele em quociente para aplicar a regra.
Vamos lá!
Passo 2
Nosso limite é dado por:
Temos uma indeterminação porque a função logarítmica não é definida para . Então, vamos começar colocando esse produto na forma de quociente:
Agora vamos aplicar a regra de L’Hospital, derivamos em cima e embaixo para fugir da indeterminação. Temos:
Fazendo a divisão de frações:
Agora, pra ficar mais fácil de visualizar, a gente pode separar o limite do quociente no quociente dos limites:
Daí nós temos o limite da constante no numerador, que é a própria constante. E no limite do denominador, nossa função vai para infinito.
E quando temos uma constante dividida por um número infinitamente grande, o resultado dessa divisão é zero. Portanto:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉