UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Raphael Constant - Lista 7 - Esboço de gráficos e Regra de L'Hôpital, Questão 5q
Utilizando a Regra de L’Hospital, determine os seguintes limites:
q)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função , quando tende a zero, usando a regra de L’Hospital.
Pra isso, a gente precisa lembrar que a regra de L’Hospital existe para nos salvar das indeterminações do tipo e . Assim, quando a gente tem um quociente com indeterminação, nós derivamos numerador e denominador separadamente e depois aplicamos o limite.
Lembrando também que a gente aplicar a regra de L’Hospital quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação. E que quando temos um produto, também podemos transformar ele em quociente para aplicar a regra.
Vamos lá!
Passo 2
Nosso limite é dado por:
Pra resolver esse negócio, vamos começar reescrevendo o limite na forma:
Assim, usando as propriedades de logaritmos, temos:
E usando as propriedades dos limites, podemos colocar esse limite no expoente, já que é sempre constante. Assim:
Dessa forma, vamos avaliar apenas e depois substituir na função.
Passo 3
Pra calcular o limite acima, vamos aplicar a regra de L’Hospital, derivamos em cima e embaixo para fugir da indeterminação. Temos:
Fazendo a divisão de frações:
Agora sim, aplicando limite:
Só falta a gente substituir esse resultado na expressão que encontramos no passo anterior:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉