Esboce e calcule o volume do sólido descrito.

a) Uma calota de altura h , de uma esfera de raio r .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para esboçar e calcular o volume de uma calota de altura h em uma esfera de raio r , ou seja:

Podemos calcular o volume da seguinte forma:

V = ∫ a b A y d y

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... dessa forma, pela figura temos que:

a = r - h

E

b = r

Sabemos também que:

x 2 + y 2 = r 2 ∴ x = r 2 - y 2

Assim, temos que:

A y = π r 2 ∴

A y = π r 2 - y 2

Passo 3

Agora, aplicando na integral e resolvendo, temos:

V = ∫ r - h r π r 2 - y 2 d y ∴

V = ∫ r - h r π r 2 - π y 2 d y ∴

V = ∫ r - h r π r 2 d y - ∫ r - h r π y 2 d y ∴

V = π r 2 y r r - h - π 3 h r 2 - 3 h 2 r + h 3 3 r r - h ∴

V = π 3 h 2 r - h 3 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

V = π 3 h 2 r - h 3 3

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