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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

UFPA, Sem Campus, Cálculo II, Listas Professora Nazaré Bezerra - Lista de Exercícios 12, Questão 5a

Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies a seguir e acima das respectivas regiões   Ω do R 2

z   =   x 2   −   y 2   e     Ω   =   [ 1 ,   2 ]   ×   [ − 1 ,   1 ] ;

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo . Dessa vez uma para calcular volume. Queremos calcular o volume de

z   =   x 2   −   y 2   e     Ω   =   [ 1 ,   2 ]   ×   [ − 1 ,   1 ] ;

Parece complicado, mas é bem simples. Já temos a nossa base que é

  Ω   =   [ 1 ,   2 ]   ×   [ − 1 ,   1 ] ;

e temos a altura do nosso sólido que é z   =   x 2   −   y 2

ou seja, temos que 1 ≤ x ≤ 2   e   - 1 ≤ y ≤ 1   e   0 ≤   z ≤     x 2   −   y 2

Dessa forma, a integral fica

∫ ∫ ∫ Ω d V

= ∫ 1 2 ∫ - 1 1 ∫ 0   x 2   −   y 2 d z d y d x

ou seja, integramos primeiro em z e depois em y e por último em x

Passo 2

Vamos começar fazendo a integral de dentro de

∫ 1 2 ∫ - 1 1 ∫ 0   x 2   −   y 2 d z d y d x

integrando

∫ 0   x 2   −   y 2 d z

temos:

∫ 0   x 2   −   y 2 d z = x 2 - y 2

Então

∫ 1 2 ∫ - 1 1 ∫ 0   x 2   −   y 2 d z d y d x = ∫ 1 2 ∫ - 1 1 x 2 - y 2 d y d x

Agora, vamos fazer a integral em y

∫ - 1 1 x 2 - y 2 d y

como é um polinômio em y

= y x 2 - y 3 / 3 | y = 1 y = - 1

= 2 x 2 - 2 / 3

Logo a integral fica

∫ 1 2 ∫ - 1 1 ∫ 0   x 2   −   y 2 d z d y d x = ∫ 1 2 2 x 2 - 2 / 3 d x

integrando em x temos:

∫ 1 2 2 x 2 - 2 / 3 d x

= 2 / 3 * x 3 - 2 x / 3 | x = 2 x = 1

calculando

= 4

Logo

∫ 1 2 ∫ - 1 1 ∫ 0   x 2   −   y 2 d z d y d x = 4

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

4

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Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .