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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

UFPA, Sem Campus, Cálculo II, Listas Professora Nazaré Bezerra - Lista de Exercícios 12, Questão 5b

Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies a seguir e acima das respectivas regiões   Ω do R 2

z   =   1 + x 2   +   y 2   e     Ω   =   [ - 1 ,   1 ]   ×   [ − 1 ,   1 ] ;

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo . Dessa vez uma para calcular volume. Queremos calcular o volume de

z   =   1 + x 2   +   y 2   e     Ω   =   [ - 1 ,   1 ]   ×   [ − 1 ,   1 ] ;

Parece complicado, mas é bem simples. Já temos a nossa base que é

Ω   =   [ - 1 ,   1 ]   ×   [ − 1 ,   1 ]

e temos a altura do nosso sólido que é z   =   1 + x 2   +   y 2

ou seja, temos que - 1 ≤ x ≤ 1 e   - 1 ≤ y ≤ 1   e   0 ≤   z ≤     1 + x 2   +   y 2

Dessa forma, a integral fica

∫ ∫ ∫ Ω d V

= ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0   1 + x 2   +   y 2 d z d y d x

ou seja, integramos primeiro em z e depois em y e por último em x

Passo 2

Vamos começar fazendo a integral de dentro de

= ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0   1 + x 2   +   y 2 d z d y d x

integrando

∫ 0   1 + x 2   +   y 2 d z z

temos:

∫ 0   1 + x 2   +   y 2 d z = 1 + x 2 + y 2

Então

∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0   1 + x 2   +   y 2 d z d y d x = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 1 + x 2 + y 2 d y d x

Agora, vamos fazer a integral em y

∫ - 1 1 1 + x 2 + y 2 d y

como é um polinômio em y

= y + y x 2 + y 3 / 3 | y = 1 y = - 1

= 2 + 2 x 2 + 2 / 3

Logo a integral fica

∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0   1 + x 2   +   y 2 d z d y d x = ∫ - 1 1 2 + 2 x 2 + 2 / 3 d x

integrando em x temos:

∫ - 1 1 2 + 2 x 2 + 2 / 3 d x

= 2 x + 2 / 3 * x 3 + 2 x / 3 | x = 1 x = - 1

calculando

= 4 + 4 / 3 + 4 / 3  

= 20 / 3

Logo

∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0   1 + x 2   +   y 2 d z d y d x = 20 / 3

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

20 / 3

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