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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

Cálculo de Volumes através de Integrais

Considera a região

R = x , y ∈   R 2 : 0 ≤ x ≤ 3 2 , - 1 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 1 - x 2

a ) Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno da reta y = 2 .

Passo 1

Olha eu sinceramente não faço ideia de como é o gráfico desse 1 1 - x 2 mas eu posso substituir os limites de integração e fazer a seguinte análise:

f x = 1 1 - x 2 → f ' x = x 1 - x 2 3 / 2

Essa derivada, quando olhamos para um intervalo entre - 1 e 1 (que é o caso do intervalo 0 , 3 2 ), é positiva, o que significa que o gráfico cresce. Sabendo que f 0 = 1 e f 3 2 = 2 , sabemos que o gráfico será algo similar a isso aqui embaixo (para achar o gráfico de - 1 1 - x 2 basta fazer a mesma coisa só que espelhado em relação ao eixo x ):

Essa é a R do problema! Girar em torno de y = 2 , como pedido na questão, seria girar em torno da horizontal que passa no 2 dp eixo y , seria esse eixo verde aí. Repara que o 1 1 - x 2 vai gerar um sólido de raio menor que o - 1 1 - x 2 , sendo o primeiro raio igual a 2 - 1 1 - x 2 e o segundo igual a 2 + 1 1 - x 2 , representados pelas setas azuis. Logo, a integral é a diferença da rotação desse segundo raio pela rotação do primeiro raio:

V = ∫ 0 3 / 2 π 2 + 1 1 - x 2 2 d x - ∫ 0 3 / 2 π 2 - 1 1 - x 2 2 d x

Só resolver essa coisa feia aí em cima!

V = ∫ 0 3 2 π 2 + 1 1 - x 2 2 - 2 - 1 1 - x 2 2 d x

= ∫ 0 3 2 π 4 + 4 1 - x 2 + 1 1 - x 2 - 4 - 4 1 - x 2 + 1 1 - x 2 d x

= ∫ 0 3 2 π 8 1 - x 2 d x

Ok, você pode até não lembrar, mas a integral de 1 1 - x 2 é arcsen ⁡ ( x ) . Aí fica mole, saca:

∫ 0 3 2 π 8 1 - x 2 d x = 8 π arcsen ⁡ x [ 3 2 0

= 8 π arcsen ⁡ 3 2 - arcsen ⁡ 0

= 8 π π 3 - 0 = 8 π 2 3

Resposta

V = 8 π 2 3   u n i d a d e s   d e   v o l .

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .