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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

Considere a região plana R = x , y ∈ R 2   0 ≤ x ≤ 1 , arctan ⁡ x ≤ y ≤ π + x 2 } .

a) Esboce a região plana R .

b) Assinale uma das opções abaixo e escreva o volume de S utilizando integrais.

[ ] Método de Discos: o volume será escrito através de uma soma de 3 integrais.

[ ] Método de Cascas Cilíndricas: o volume será escrito através de uma única integral.

c) Calcule o volume de S .

Passo 1

a) Fala aí! Tá bem? Para esboçar essa região, vamos ter que interpretar cada uma dessas inequações.

Começando por

arctan ⁡ x ≤ y

Isso quer dizer que temos uma região no plano x y , limitada por baixo pelo gráfico de y = arctan ⁡ x .

Para esboçar esse gráfico, a gente vai lembrar da cara da inversa dessa função aí, o y = tan ⁡ x . Ela é assim:

Aí a gente espelha só essa curva do meio em relação a essa reta y = x . Com isso, achamos o gráfico da inversa dela, o nosso y = arctan ⁡ x :

Nosso gráfico de y = arctan ⁡ x é esse azul. Aí esboçando só ele e marcando a região de x y que é limitada inferiormente por essa curva. A gente tem

Passo 2

Vamos olhar agora

y ≤ π + x 2

Isso significa que a região em x y está limitada por cima por uma curva de expressão y = π + x 2 . Como só um dos termos está ao quadrado, a gente vê que isso é uma parábola. E ela está virada para cima.

Para esboçar ela, a gente pode achar 3 pontos dela, sendo um deles o seu ponto mínimo. Para achar esse ponto, a gente pode derivar a equação da parábola e igualar a zero, isso vai nos dá seu único ponto crítico (o mínimo).

y = π + x 2

y ' = 2 x = 0 ∴ x = 0

y 0 = π + 0 = π

Então o ponto de mínimo é 0 , π . Aqui também poderia usar aquela fórmulinha de mínimo de uma parábola, Daria a mesma coisa, tá?

Se a gente substituir x = - π e x = π , achamos os outros 2 pontos: - π , 2 π e π , 2 π . Aí esboçando essa parábola, e a região limitada por cima por ela, encontramos:

Passo 3

Cara, agora a gente faz a interseção entre essas duas regiões. E como ele diz que:

0 ≤ x ≤ 1

A gente só marca a região da interseção que estiver também dentro desse intervalo. Fazendo isso, achamos R :

Passo 4

b) Ele quer que a gente descreva o volume do sólido de rotação dessa região em torno de y . E deixou livre para a gente escolher qual método usar.

Qual critério a gente pode usar? Cara, como a gente vai rotacionar essa região em torno de y , se a gente usar o método dos discos vamos ter que fazer uma integração em y , e se fizermos o método das cascas, uma integral em x .

Qual a gente pode supor que vai ser mais tranquila? Repara que em x , a gente tem essas curvas limitando nossa região:

y = f x = arctan ⁡ x ,     y = f x = x 2 + π

Enquanto em y , essas curvas podem ser descritas assim:

y = arctan ⁡ x ∴ x = g y = tan ⁡ y

y = x 2 + π ∴ x = ± y - π

Como a nossa região está em x ≥ 0 :

x = g y = y - π

Em x a gente tem um arco da tangente. Isso é uma inversa trigonométrica. Em geral, são funções mais difíceis de integrar. Já em y temos uma raiz e uma tangente, funções relativamente mais tranquilas de integrar.

Então aqui a gente vai escolher o método dos discos, beleza? E montar uma integral em y . Vamo!

Passo 5

Agora a gente precisa descrever o volume como uma soma de integrais em y . A gente vai usar essa fórmulinha:

V = π ∫ y 1 y 2   g d i r e i t a 2 -   g e s q u e r d a 2 d y

O que ela quer dizer? y 1 , y 2 é o intervalo de y onde essa região R está, g d i r e i t a é a função que limita a região pela direita, e g e s q u e r d a , a função que limita pela esquerda.

No eixo y , nossa região está entre a interseção de x = 1 e a parábola, que é y = π + 1 e x = 0 a e arctan ⁡ x , que é y = 0 . Ou seja, está no intervalo

0 < y < π + 1

Mas repara ali no nosso gráfico que no intervalo π < y < π + 1 , nossa região está entre x = 1 e a parábola. Já no intervalo de π 4 < y < π , nossa região está entre outras funções: x = 0 e x = 1 . ( π / 4 é a interseção de x = 1 e arctan ⁡ x ).

Só que não acaba aí! No intervalo que sobra, 0 ≤ y ≤ π / 4 , nossa região está entre y = arctan ⁡ x e x = 0 .

Por isso, a gente vai precisar separar isso em três integrais! Uma para cada um desses intervalos:

V = π ∫ 0 π / 4   g d i r e i t a 2 -   g e s q u e r d a 2 d y + π ∫ π / 4 π   g d i r e i t a 2 -   g e s q u e r d a 2 d y + π ∫ π π + 1   g d i r e i t a 2 -   g e s q u e r d a 2 d y

Passo 6

Olhando para o intervalo

0 ≤ y < π 4

A gente vê que a função que limita nossa região pela esquerda é a reta x = 0 . Aí a gente pode escrever

g e s q u e r d a = 0

E a função que limita nossa região pela direita é a y = arctan ⁡ x . A gente precisa de uma expressão na forma x = g y , então vamos usar a forma com o x isolado:

x = tan ⁡ y

g d i r e i t a = tan ⁡ y

Aí a nossa integral para esse intervalo fica:

V = π ∫ 0 π / 4 tan 2 ⁡ y d y

Passo 7

Olhando para o intervalo

π 4 < y < π

A gente vê que a função que limita nossa região pela direita é também a reta x = 1 . Aí a gente pode escrever

g d i r e i t a = 1

E a função que limita nossa região pela esquerda é a reta x = 0 .

g e s q u e r d a = 0

Aí a nossa integral para esse intervalo fica:

V = π ∫ π 4 π 1 d y

Passo 8

Olhando para o intervalo

π ≤ y < π + 1

A gente vê que a função que limita nossa região pela direita é a reta x = 1 . Aí a gente pode escrever

g d i r e i t a = 1

E a função que limita nossa região pela esquerda é a y = π + x 2 . A gente precisa de uma expressão na forma x = g y , então vamos usar a forma com o x isolado:

x = y - π

g d i r e i t a = y - π

Aí a nossa integral para esse intervalo fica:

V = π ∫ π π + 1 1 - y - π d y

Passo 9

Com isso, nossa região pode ser descrita pela soma:

V = π ∫ 0 π 4 tan 2 ⁡ y d y + π ∫ π 4 π 1 d y + π ∫ π π + 1 1 - y - π d y

Ufa! Deu tudo certo!

Passo 10

c) Agora é calcular, né?

V = π ∫ 0 π 4 tan 2 ⁡ y d y + π ∫ π 4 π 1 d y + π ∫ π π + 1 1 - y + π d y

Vamos reescrever tan 2 ⁡ y usando uma identidade trigonométrica

cos 2 ⁡ y + s e n 2 y = 1 ∴ 1 + tan 2 ⁡ y = sec 2 ⁡ y ∴ tan 2 ⁡ y = sec 2 ⁡ y - 1

Aí como a derivada de tangente é sec 2 ⁡ y :

V = π ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ y - 1 d y + π ∫ π 4 π 1 d y + π ∫ π π + 1 1 - y + π d y

V = π tan ⁡ y - y 0 π 4 + π π - π 4 + π y - y 2 2 + π y π π + 1

V = π 1 - π 4 + 3 π 2 4 + π π + 1 - π + 1 2 2 + π π + 1 - π + π 2 2 - π 2

V = π 2 + - 2 π 2 + 6 π 4 = π 3 2 + π 2

Resposta

a)

b) V = π ∫ 0 π 4 tan 2 ⁡ y d y + π ∫ π 4 π 1 d y + π ∫ π π + 1 1 - y - π d y

c) V = π 3 2 + π 2

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