Dada a figura abaixo ache o volume do sólido gerado rotacionando a região indicada em torno da reta especificada:

  1. R_1 ao longo de AB.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??? Bora Responder Aí essa questão

Sabemos que o volume pode ser dado por:

V = ∫ a b A ( x ) d x

Onde a = 0 e b = 1

E R 1 é limitado pela curva y = x 3 → x = y 3

Assim:

A = π r 2 = π x - x i 2

Onde x i é o x que varia de 0 a 1, mas x = 1 é bem definido, de modo que:

A = π 1 - y 3 2

Bora pro próximo passo?

Passo 2

Obrigado por vir

Logo:

V = ∫ 0 1 π 1 - y 3 2 d x

Mas não tem variável x, certo? Então vamos fazer uma troca de variável.

V = ∫ a b A y d y

Temos que a = 0 e b = 1

Passo 3

Assim:

V = ∫ 0 1 π 1 - y 3 2 d y

V = π ∫ 0 1 1 - 2 y 1 3 + y 2 3 d y

V = π y - 2 * 3 4 y 4 3 + 3 5 y 5 3 0 1

V = π 1 - 6 4 + 3 5

V = π 2 20

V = π 10

Resposta

V = π 10

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