Determine o volume do sólido limitado pelos cilindros x^2 + y^2 = 9^2 e y^2 + z^2 = 9^2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar o volume de um sólido que é limitado por dois cilindros:

x 2 + y 2 = 9 2

E

y 2 + z 2 = 9 2

Graficamente, temos:

Para isso, podemos calcular o volume pela seguinte integral dupla:

V = 2 * ∬ f x , y d x   d y

Onde essa multiplicação por 2 significa que vamos utilizar a simetria do sistema para resolver a integral, considerando apenas o eixo positivo de z .

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... como f x , y = z , isolamos z na seguinte expressão:

y 2 + z 2 = 9 2 ∴

z = 81 - y 2 = f x , y

Já para a região de integração do sólido, consideramos o outro cilindro da seguinte forma:

x 2 + y 2 = 9 2 ∴

x = ± 81 - y 2

Dessa forma, quando y varia de - 9 a 9 , então x varia da seguinte forma:

- 81 - y 2 < x < + 81 - y 2

Passo 3

Bom... substituindo as expressões e limites na integral, temos:

V = 2 * ∫ - 9 9 ∫ - 81 - y 2 81 - y 2 81 - y 2 d x   d y ∴

V = 2 * ∫ - 9 9 81 - y 2 * x 81 - y 2 - 81 - y 2   d y ∴

V = 2 * ∫ - 9 9 81 - y 2 * 2 81 - y 2 d y ∴

V = 4 * ∫ - 9 9 81 - y 2   d y ∴

V = 4 * 81 y - y 3 3 9 - 9   ∴

V = 3888

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

V = 3888

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