2 - Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo y :

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nosso objetivo aqui nesse problema é obter o volume do sólido que se forma ao rotacionar a área hachurada em torno do eixo y .

Como podemos obter esse volume? 🤔

Nesse caso, podemos usar o método dos discos em que usamos a ideia do cálculo do volume de um disco para obter o volume do nosso sólido.

A fórmula do volume de um disco é

V = π r ² h

E como nosso sólido não é um disco, vamos obter o volume de altura infinitesimal de cada disco.

Portanto, h na verdade é uma altura infinitesimal d y e d V é um volume infinitesimal.

d V = π r 2 d y

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 2

Se o eixo de rotação é o eixo y , a função x = 3 y 2 será o raio r de cada disco! Ou seja

d V = π 3 y 2 2 d y

Integrando nos dois lados, chegamos em

∫ d V = ∫ π 3 y 2 2 d y

V = ∫ π 3 y 2 2 d y

Como queremos apenas o intervalo de altura em y entre 0 e 2 , aplicamos esse limite como os limites de integração. V = ∫ 0 2 π 3 y 2 2 d y

Como a b c = a c b c e a b c = a c b c , então

V = ∫ 0 2 π 9 y 2 4 d y

Como 9 π 4 é uma constante, podemos tirá-la da integral.

V = 9 π 4 ∫ 0 2 y 2 d y

Interessante, não é? 😉

Passo 3

Integrando y 2 pelo método de integração polinomial, somando 1 no expoente de y e a dividindo pelo resultado da soma do seu expoente, temos

∫ y 2 d y = y 2 + 1 2 + 1 = y 3 3

Aplicando os limites de integração, chegamos em

∫ 0 2 y 2 d y = y 3 3 | y = 0 2

∫ 0 2 y 2 d y = 2 3 3 - 0 3 3

∫ 0 2 y 2 d y = 8 3

Substituindo em V , temos

V = 9 π 4 8 3

Simplificando...

V = 3 π 1 2 1

V = 6 π

Então chegamos à conclusão que o volume V do solido de revolução é 6 π ! Legal, não é? 😎

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

V = 6 π

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