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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

UFCG. Cálculo Diferencial e Integral II. Listas de Cálculo 2 UAMat. Lista 3. Questão 2b.

1 - Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo y :

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão, temos que obter o volume do sólido que se forma ao revolucionar a área hachurada em torno do eixo y .

Essa área é definida entre o eixo y e a curva x = t g π 4 y , no intervalo entre y = 0 e y = 1 .

Mas como podemos obter o volume desse sólido?? 🤔🤔

Para esse caso, é interessante aplicarmos o método dos discos.

Esse método consiste em dividir nosso sólido em discos infinitesimais. Vamos montar o problema!

O volume de um disco é dado por

V = π r 2 h

Onde r é o raio do disco e h é a altura.

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 2

Ao dividirmos o sólido por discos infinitesimais, podemos dizer que r é o valor de x da curva x = t g π 4 y e h é a altura infinitesimal d y .

Assim, o volume infinitesimal de cada parte é dado por

d V = π x 2 d y

d V = π t g π 4 y 2 d y

Integrando os dois lados, temos

∫ d V = ∫ π t g π 4 y 2 d y

V = ∫ π t g 2 π 4 y d y

Estamos interessados apenas no intervalo de y entre 0 e 1 . Então aplicamos esses valores nos limites de integração.

V = ∫ 0 1 π t g 2 π 4 y d y

Podemos tirar π da integral, pois ele é uma constante

V = π ∫ 0 1 t g 2 π 4 y d y

Para obter essa integral, vamos fazer uma mudança de variáveis e chamar π 4 y de u , assim, derivando u com relação a y , vamos obter

d u d x = d π 4 y d x = π 4

Isolando d x em um lado da equação, vamos obter

d u d x = π 4 → d x = 4 π d u

Agora vamos reescrever os limites de integração! Antes y variava entre 0 e 1 , ou seja

0 ≤ y ≤ 1

Multiplicando todos os lados por π 4

0 · π 4 ≤ y · π 4 ≤ 1 · π 4

y · π 4 não é igual a u ? Então os novos limites de integração depois da mudança, é...

0 ≤ u ≤ π 4

Olhando apenas para a integral ∫ 0 1 t g 2 π 4 y d y , fazendo as substituições de π 4 y por u e d x por 4 π d u e dos limites de integração.

∫ 0 π 4 t g 2 u 4 π d u

Tirando 4 π de dentro da integral...

4 π ∫ 0 π 4 t g 2 u d u

Agora temos uma nova integral para calcularmos!

Passo 3

Reescrevendo t g 2 u usando identidades trigonométricas, temos que

t g 2 u = s e c 2 u - 1

Substituindo na integral...

4 π ∫ 0 π 4 s e c 2 u - 1 d u = 4 π ∫ 0 π 4 s e c 2 u d u - ∫ 0 π 4 1 d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, vemos que a integral de s e c 2 u é igual a t g u , aplicando os limites de integração, chegamos em

∫ 0 π 4 s e c 2 u d u = t g u | u = 0 π 4

∫ 0 π 4 s e c 2 u d u = t g π 4 - t g 0 = 1 - 0

∫ 0 π 4 s e c 2 u d u = 1

Agora a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração, logo a integral de 1 é igual a u .

Aplicando os limites de integração, vamos obter

∫ 0 π 4 1 d u = u | u = 0 π 4 = π 4 - 0

∫ 0 π 4 1 d u = π 4

Com isso, temos

4 π ∫ 0 π 4 t g 2 u d u = 4 π ∫ 0 π 4 s e c 2 u d u - ∫ 0 π 4 1 d u

∫ 0 1 t g 2 π 4 y d y = 4 π ∫ 0 π 4 t g 2 u d u = 4 π 1 - π 4

∫ 0 1 t g 2 π 4 y d y = 4 π - 1

Substituindo esse resultado em V , temos

V = π ∫ 0 1 t g 2 π 4 y d y

V = π 4 π - 1

V = 4 - π

Então o volume do sólido formado pela revolução da área hachurada é V = 4 - π !

Legal, né? 😉

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

V = 4 - π

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