Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo x , da região plana delimitada pelas curvas x = (y^4 / 4) - (y^2 / 2) e x = y^2 / 2 , com 0 ≤ y ≤ 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume de rotação da região entre as curvas x = y 4 4 - y 2 2 e x = y 2 2 . Mas como a gente faz isso?

Bom, existem vários métodos pra gente calcular esse volume de rotação, mas a gente tem que prestar atenção em alguns detalhes que pode facilitar nossas contas. No nosso caso, nossa região está girando em torno do eixo x e ela é composta por funções de y . Então, um método mais simples de calcular o volume, nesse caso, seria através do Método das Cascas Cilíndricas.

Nesse método, a gente considera que o volume é calculado através do produto entre a circunferência, altura e espessura de pedaços infinitesimais de volume do sólido. E a gente usa a integral para “somar” esses produtos infinitesimais. Então, teremos:

V = ∫ a b 2 π y ∙ f y   d y

Onde 2 π y representa a circunferência da casca, f ( y ) representa a altura (que no nosso caso é dada pela diferença entre as duas funções dadas) e d y sua espessura. Vamos usar os dados da questão para substituir os parâmetros da integral e obter o volume.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar dando uma olhada no gráfico da nossa região:

Como o enunciado nos diz que y tá variando de 0 a 2 , pra gente só interessa essa partezinha em amarelo. É ela que vai rotacionar em torno do eixo x .

A altura da nossa casca vai ser dada pela diferença entre as funções x = y 4 4 - y 2 2 (em verde) e x = y 2 2 (em azul). Substituindo isso na integral do volume, temos:

V = ∫ 0 2 2 π y ∙ y 2 2 - y 4 4 - y 2 2   d y

V = ∫ 0 2 2 π y ∙ y 2 2 - y 4 4 + y 2 2   d y

Simplificando dentro dos parênteses:

V = ∫ 0 2 2 π y ∙ y 2 - y 4 4   d y

V = 2 π ∫ 0 2 y 3 - y 5 4   d y

Passo 3

Agora vamos integrar em relação a y , usando a regrinha do expoente ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ):

V = 2 π y 3 + 1 3 + 1 - 1 4 y 5 + 1 5 + 1 0 2

V = 2 π y 4 4 - y 6 24 0 2

Aplicando os limites de integração:

V = 2 π 2 4 4 - 2 6 24 - 0 4 4 - 0 6 24

V = 2 π 4 - 64 24

Assim, temos nosso volume:

V = 2 π 32 2 4 = 2 π 4 3

V = 8 π 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 8 π 3

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