Determine o volume do sólido situado entre os planos perpendiculares ao eixo y em y = 0 e y = 2 , e cujas seções perpendiculares ao eixo y são discos circulares com diâmetros que vão do eixo y à parábola x = raiz(5) * y^2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume de um sólido formado por discos circulares que vão do eixo y ( x = 0 ) até a parábola x = 5 y 2 . Essa é a base do nosso sólido, e como ela tem formado circular, segundo o enunciado, usamos a fórmula da área da circunferência para calcular a área:

A = π d 2 4

Como nosso diâmetro d é x = 5 y 2 , vamos ter:

A ( y ) = π 4 5 y 2 2

Pela teoria do cálculo de volume por seções transversais, se a gente integrar essa área ao longo de intervalo definido em um eixo, temos o volume do sólido. Mas quem é esse intervalo? Ele nos disse que o sólido tá situado entre y = 0 e y = 2 , então nosso intervalo é [ 0 ,   2 ] . Assim, nós podemos escrever a integral de volume:

V = ∫ 0 2 A y   d y

Vamos calculá-la para obter o volume do sólido. Vamos lá!

Passo 2

Sabendo que A ( y ) = π 4 5 y 2 2 , temos nossa integral:

V = ∫ 0 2 π 4 5 y 2 2

Elevando os termos ao quadrado:

V = ∫ 0 2 5 π 4 y 4   d y

Colocando as constantes do lado de fora da integral:

V = 5 π 4 ∫ 0 2 y 4   d y

Agora vamos integrar em relação a y , usando a regrinha da potência ( ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 ):

V = 5 π 4 y 4 + 1 4 + 1 0 2

V = 5 π 4 y 5 5 0 2

Simplificando a fração:

V = π y 5 4 0 2

Agora aplicando os limites de integração em y :

V = π 4 2 5 - 0 5

V = 32 π 4 = 8 π

E encontramos nosso volume.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 8 π

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