UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, 1º Estágio - 2022.1, Questão 2
Determine o volume do sólido situado entre os planos perpendiculares ao eixo em e , e cujas seções perpendiculares ao eixo são discos circulares com diâmetros que vão do eixo à parábola .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o volume de um sólido formado por discos circulares que vão do eixo () até a parábola . Essa é a base do nosso sólido, e como ela tem formado circular, segundo o enunciado, usamos a fórmula da área da circunferência para calcular a área:
Como nosso diâmetro é , vamos ter:
Pela teoria do cálculo de volume por seções transversais, se a gente integrar essa área ao longo de intervalo definido em um eixo, temos o volume do sólido. Mas quem é esse intervalo? Ele nos disse que o sólido tá situado entre e , então nosso intervalo é . Assim, nós podemos escrever a integral de volume:
Vamos calculá-la para obter o volume do sólido. Vamos lá!
Passo 2
Sabendo que , temos nossa integral:
Elevando os termos ao quadrado:
Colocando as constantes do lado de fora da integral:
Agora vamos integrar em relação a , usando a regrinha da potência ():
Simplificando a fração:
Agora aplicando os limites de integração em :
E encontramos nosso volume.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉