UFBA, Sem Campus, Cálculo B, Listas de Cálculo B - UFBA - Lista 1, Questão 2.1c
Determine o volume do sólido tal que:
A base de é a região limitada pela parábola e pelo eixo , e as seções transversais perpendiculares ao eixo são triângulos isósceles com altura igual à base.
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo beleza?
Nessa questão temos um sólido cuja base é dada pela região limitada entre a parábola:
E o eixo:
As secções transversais perpendiculares ao eixo , são triângulos isósceles, com um dos lados nessa base e altura igual à base.
Queremos calcular o volume desse sólido, beleza?!
Para fazer isso, vamos usar o método das seções transversais. Como as secções transversais foram tomadas perpendicularmente ao eixo , escrevemos que:
Tranquilo?
Daí, precisamos conseguir escrever a área de uma secção transversal genérica em função de para depois substituir na integral e calcular o volume.
Vem com a gente que vai ficar bem clarinho 😉
Passo 2
A base do nosso sólido pode ser esboçada da seguinte forma:
Assim, varia de a . Precisamos conseguir relacionar o valor de com a área do triângulo.
Se observarmos direitinho, o comprimento da base do triângulo isósceles (que estará ligando um ponto da parábola até um ponto da reta azul) vale justamente a coordenada .
Mas, como vale pela parábola que:
A base da secção transversal, assim como a sua altura valem:
Logo, a área vale:
Portanto, podemos montar a integral:
Muito bomm!!
Passo 3
Precisamos resolver a integral:
Daí:
Terminamosss!! Espero que vocês tenham gostado, até a próxima 😉