Determine o volume do sólido S tal que:

c ) A base de S é a região limitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x , e as seções transversais perpendiculares ao eixo x são triângulos isósceles com altura igual à base.

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo beleza?

Nessa questão temos um sólido S cuja base é dada pela região limitada entre a parábola:

y = 1 - x 2

E o eixo:

y = 0

As secções transversais perpendiculares ao eixo x , são triângulos isósceles, com um dos lados nessa base e altura igual à base.

Queremos calcular o volume desse sólido, beleza?!

Para fazer isso, vamos usar o método das seções transversais. Como as secções transversais foram tomadas perpendicularmente ao eixo x , escrevemos que:

V = ∫ m n A x d x

Tranquilo?

Daí, precisamos conseguir escrever a área de uma secção transversal genérica em função de x para depois substituir na integral e calcular o volume.

Vem com a gente que vai ficar bem clarinho 😉

Passo 2

A base do nosso sólido pode ser esboçada da seguinte forma:

Assim, x varia de - 1 a 1 . Precisamos conseguir relacionar o valor de x com a área do triângulo.

Se observarmos direitinho, o comprimento da base do triângulo isósceles (que estará ligando um ponto da parábola até um ponto da reta azul) vale justamente a coordenada y .

Mas, como vale pela parábola que:

y = 1 - x 2

A base da secção transversal, assim como a sua altura valem:

y = ( 1 - x 2 )

Logo, a área vale:

A x = 1 - x 2 2 2

A x = 1 - 2 x 2 + x 4 2

Portanto, podemos montar a integral:

V = ∫ - 1 1 1 - 2 x 2 + x 4 2 d x

Muito bomm!!

Passo 3

Precisamos resolver a integral:

V = ∫ - 1 1 1 - 2 x 2 + x 4 2 d x

= 1 2 ∫ - 1 1 x 4 - 2 x 2 + 1 d x

= 1 2 ⋅ x 5 5 - 2 x 3 3 + x - 1 1

Daí:

V = 1 2 ⋅ 1 5 - 2 3 + 1 - 1 2 ⋅ - 1 5 5 - 2 - 1 3 3 + - 1

V = 8 15

Terminamosss!! Espero que vocês tenham gostado, até a próxima 😉

Resposta

8 15

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