Determine o volume do sólido S tal que:

e) S é uma calota de uma esfera de raio r e altura h .

Passo 1

Oii gente, tudo bom com vocês?

Nessa questão temos um sólido S que é uma calota esférica, de raio r e altura h .

Precisamos determinar o volume dessa calota.

Para fazer isso, vamos usar o método das seções transversais. Vamos escolher um eixo para tomarmos as secções transversais da calota, chamando de eixo x , vale que:

V = ∫ m n A x d x

Tranquilo?

Daí, precisamos conseguir escrever a área de uma secção transversal genérica em função de x para depois substituir na integral e calcular o volume.

Vamo nessa!

Passo 2

Vamos tomar como eixo a direção perpendicular à base da calota esférica.

Nessa direção, a área da base é dada por:

A x = π a 2

h representado na imagem é a altura total da calota, mas como vamos pegar infinitas secções, vamos chamar cada altura de x . Onde:

0 ≤ x ≤ h

onde a é dado pelo triângulo pitagórico de catetos a ,   r - x e hipotenusa r . Daí:

r 2 = a 2 + r - x 2

∴ a 2 = r 2 - r - x 2

Assim, temos:

A x = π r 2 - r - x 2

Daí, substituindo na integral, temos:

V = ∫ 0 h π r 2 - r - x 2 d x

= π ∫ 0 h r 2 - r 2 - 2 r x + x 2 d x

= π ∫ 0 h ( 2 r x - x 2 ) d x

Daí:

V = π ⋅ r x 2 - x 3 3 0 h

= π ⋅ r h 2 - h 3 3

Portanto:

V = π h 2 ⋅ r - h 3

∴ V = π h 2 3 ⋅ 3 r - h

Prontinho!! Curtiram a solução?

Responde Aí!

Resposta

π h 2 3 ⋅ 3 r - h

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