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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

Cálculo de Volumes através de Integrais

Seja G a região ilimitada no plano x y definida por:

G = x , y ∈ R × R 0 ≤ x ≤ 1 1 + y 2 3 2 ,     y ≥ 0

Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando G em torno do eixo-x.

Passo 1

Pode-se resolver de mais de uma maneira. Como estamos girando em torno do eixo O x , é melhor fazer por discos:

x = 1 1 + y 2 3 2

1 + y 2 3 / 2 = x - 1

1 + y 2 = x - 2 3

y = ± x - 2 3 - 1 1 2

Como temos a restrição y ≥ 0 da definição de G , ficamos com:

y = x - 2 3 - 1 1 2

Passo 2

Fazendo por discos, o volume é dado por:

V = ∫ a b π y 2 d x

Onde o intervalo a , b é o domínio da função y x . Precisamos descobri o domínio. Como temos uma raiz na definição de y = f x , precisamos que seu interior seja não negativo, portanto:

x - 2 3 - 1 ≥ 0

x - 2 3 ≥ 1

Que é a mesma coisa que:

1 x 2 3 ≥ 1

Como x 2 > 0 sempre

1 ≥ x 2 3

Então

x 2 ≤ 1

Isso nos diz que

- 1 ≤ x ≤ 1

Como ele quer x ≥ 0 , coisa que ele disse no enunciado, vamos ter

0 ≤ x ≤ 1

Portanto o domínio da função y ( x ) é:

D f = 0,1

Passo 3

Substituindo:

V = ∫ 0 1 π x - 2 3 - 1 d x

A integral é imprópria, pois em x = 0 temos uma indeterminação de divisão por zero. Fazendo o limite:

V = π lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 x - 2 3 - 1 d x

V = π lim a → 0 + ⁡ 3 x 1 3 - x a 1

V = π lim a → 0 + ⁡ 3 - 1 - 3 a - a

V = 2 π

Resposta

2 π

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
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42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .