UFBA, Sem Campus, Cálculo B, Listas de Cálculo B - UFBA - Lista 1, Questão 2.6
Seja S o toro gerado pela rotação do círculo ao redor do eixo y. Construa as integrais que representam o volume do S, pelo método das seções transversais e pelo método das cascas cilíndricas.
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos que encontrar o volume do toro gerado pela rotação do círculo ao redor do eixo y.
Se escolhermos retângulos paralelos ao eixo x de espessura dy, podemos utilizar o método das seções transversais, nesse os retângulos são perpendiculares ao eixo de rotação, sendo o volume dado por
sendo:
o raio do disco formado;
a largura do disco.
Se escolhermos retângulos paralelos ao eixo y de espessura dx, podemos utilizar o método das cascas, nesse os retângulos são paralelos ao eixo de rotação, sendo o volume dado por
sendo:
o raio do cilindro formado;
h a altura do cilindro formado
a largura do cilindro.
Então vamos lá resolver essa integral!
Passo 2
Para o método das seções transversais, vamos escrever a equação do círculo em duas funções x(y), para isso basta isolar x na equação do círculo:
Então o volume será dado pela diferença entre os volumes dos discos:
Então, a integral do volume fica:
.
Passo 3
Para o método das cascas cilíndricas, vamos escrever a equação do círculo em duas funções y(x), para isso basta isolar y na equação do círculo:
Então o volume será dado pela rotação dos retângulos de altura:
.
Então, a integral do volume fica:
.
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
No decorrer da questão.