Sejam f e g funções dadas por

f(x) = -x + 2 e g(x) = arcese(x)

𝑒 considere a região plana R descrita abaixo:

R: { (x, y) ∈ R | g(x) ≤ y ≤ f(x), 0 < -x ≤ 1/2 }

Seja S o sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo x.

a) Esboce a região plana R.

b) Escreva o volume de S utilizando o Método de Discos ou método de cascas ciníndricas.

Obs: Neste item não é necessário calcular o volume.

Passo 1

a) Para o esboço temos

g x = a r c s e n x

f x = - x + 2  

Juntando temos

No entanto, nosso x vai só de zero até 1 2 ,   o que nos dá essa região.

Passo 2

b) Aplicando o método dos discos:

Lembrese que estamos rodando em volta do eixo x, logo, nossa integral vai ser em relação a x, ok? (dx) Como nosso x varia entre 0 e 1 2 , teremos para os raios internos e externos

r e x t = f x - 0 = - x + 2

r i n t = g x - 0 = a r c s e n x

Então o volume é dado por

V = ∫ 0 1 2 π f x 2 - π g x 2 d x

V = π ∫ 0 1 2 - x + 2 2 - a r c s e n x 2 d x

Resposta

V = π ∫ 0 1 2 - x + 2 2 - a r c s e n x 2 d x

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