Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

a) y = 1 / x; x = 1; x = 2; y = 0, em todo do eixo x .

Passo 1

Fala aí gente, tudo bem com vocês?

Nessa questão temos uma região no plano delimitada pelas curvas:

y = 1 x x = 1 x = 2 y = 0

Precisamos determinar o volume do sólido gerado ao se rotacionar essa região em torno do eixo x . Além disso, devemos fazê-lo usando o método das seções transversais.

Como a rotação é em torno do eixo x , vamos tomar esse eixo no nosso método das seções, e aí aplicamos:

V = ∫ a b A x d x

onde A ( x ) é a área da seção transversal do sólido. Já a e b estão relacionados ao intervalo que delimita a região no R 2 .

Tranquilo?

Passo 2

Bom, vamos começar esboçando a região plana que será rotacionada:

A curva em vermelho e em azul representam as retas verticais x = 1 e x = 2 , respectivamente.

A curva preta representa a equação y = 1 x . E, a curva verde é o próprio eixo x y = 0 .  

Assim, temos que os limites da integral do volume são dados por:

1 ≤ x ≤ 2

Já a área da seção transversal é a área que está sendo rotacionada. Assim, temos:

A x = π ⋅ y x 2

Como a região é limitada superiormente por:

y = 1 x

Temos:

A x = π ⋅ 1 x 2

Daí, temos a seguinte integral:

V = ∫ 1 2 π ⋅ 1 x 2 d x

Massa!

Passo 3

Vamos resolver a integral que encontramos no passo anterior:

V = ∫ 1 2 π ⋅ 1 x 2 d x

V = π ⋅ ( - 1 ) x 1 2

= π ⋅ 1 - 1 2

Portanto:

V = π 2

Excelente pessoal! Obrigado pela atenção 😊

Resposta

π 2

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