O volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo O_x , da região

A = {x, y ∈ R : 0 ≤ x ≤ π e tg(x) / 2 ≤ y ≤ sen(x)} , indicado na figura abaixo é:

Passo 1

Para esse caso podemos aplicar uma formulinha diretona, onde

V = ∫ a b π f x 2 - g x 2   d x

Onde a f ( x ) é a função que passa por fora e g ( x ) a mais interna. Assim temos

V = ∫ 0 π π s e n 2 x - t g 2 x 4   d x

Passo 2

Agora vai ser só reolvermos essa belezinha. Começamos tirando π de dentro da integral

V = π ∫ 0 π s e n 2 x - t g 2 x 4   d x

V = π ∫ s e n 2 x d x - 1 4 ∫ t g 2 x   d x

Resolvendo primeiramente integral do seno

∫ s e n 2 x d x = ∫ 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x   d x

= - 1 2 c o s ∫ cos ⁡ 2 x d x + 1 2 ∫ d x

2 x = u → d u = 2 d x → d x = d u 2

= x 2 - 1 4 ∫ cos ⁡ u d u

= x 2 - s e n u 4

= x 2 - s e n 2 x 4

= x - s e n x cos ⁡ x 2

Passo 3

Temos ainda que resolver a parte da integral referenta á tangente.

∫ t g 2 x   d x

= ∫ sec 2 ⁡ x - 1 d x

= t g x - x

Essa foi tranquilinha, haha.

Passo 4

Agora é sol voltar com os resultados que encontramos e aplicar o intervalo de integração

V = π ∫ s e n 2 x d x - 1 4 ∫ t g 2 x   d x

V = π x - s e n x cos ⁡ x 2 - 1 4 t g x - x 0 π

V = π π - s e n π cos ⁡ π 2 - 1 4 t g π - π 0 π

V = π 2 2 + π 2 4 = 3 π 2 4

Passo 5

Resposta

3 π 2 4

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