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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

USP – Cálculo 2 – Lista 3 – Questão 1.3

Verifique que a função u x , y = ln ⁡ x 2 + y 2   é solução da equação de Laplace bidimensional ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu uma função de duas variáveis

u x , y = ln ⁡ x 2 + y 2

E pediu para mostrar que ela satisfaz a equação de Laplace

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

E agora?

A ideia é achar as parciais de segunda ordem de cada variável para depois jogar na equação. E depois? Depois é confiar que vai dar certo!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar calculando as parciais em x

u x , y = ln ⁡ x 2 + y 2

∂ u ∂ x = 1 x 2 + y 2 . 1 2 x 2 + y 2 . 2 x = x x 2 + y 2

E agora a parcial de segunda ordem

∂ 2 u ∂ x 2 = 1 . x 2 + y 2 - 2 x . x x 2 + y 2 2 = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Beleza?

Agora vamos calcular as parciais em y

∂ u ∂ y = 1 x 2 + y 2 . 1 2 x 2 + y 2 . 2 y = y x 2 + y 2

E em segunda ordem

∂ 2 u ∂ y 2 = 1 . x 2 + y 2 - 2 y . y x 2 + y 2 2 = + x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

Passo 3

Agora é só jogar tudo na equação!

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Do passo anterior

- x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 + + x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 = 0

- x 2 + y 2 + x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 = 0

0 = 0

Oba! Encontramos uma igualdade! Isso significa que a função dada é solução da equação!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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