UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.8 – Questão P1b
P1. Em cada item:
(1) determine implicitamente,
(2) encontre explicitamente,
(3) derive o resultado obtido em (2) para encontrar em termos de ,
(4) substitua y encontrado em (2) na expressão encontrada em (1) e verifique que a resposta é consistente com o (3).
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O problema nos deu uma equação
e pediu um total de (4) itens!
- O primeiro é encontrar (que é a derivada de em relação a ) implicitamente (ou seja, sem isolar o da equação inicialmente). Essa derivada implícita pode ficar em termos de viu, nada de se assustar!
- Depois, no item (2), o exercício pede para isolarmos . Aqui não tem muito mistério, é jogar tudo que tem para um lado e para o outro!
- No item (3), temos: Com a expressão do item (2) na mão, é partir para a derivação desse cara! Aqui vale todas as regras de derivação que você conhece... A expressão que você vai encontrar aqui vai ser só em termos de ! Já que vai estar isolado bem bonitinho.
- Por fim, o problema pede para substituirmos a expressão para (que isolamos lá no item 2) na derivada implícita do item (1) para verificar se as derivadas são iguais.
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Vamos para o item (1):
- Derivar implicitamente
A equação dada é a seguinte:
Para derivar implicitamente precisamos seguir os seguintes passos:
- Tomar a derivada em relação a de todos os termos da equação (lembrando que derivada de constante é zero)
- Nos termos com apenas , derivar normalmente
- Nos termos com , derivar normalmente (com todas as regras que conhecemos, potência, trigonométrica, exponencial...) e multiplicar o termo por
- Quando tiver termo misto (tipo ), usar a regra do produto! (vale também para o quociente) E na hora de derivar , colocar junto o ! Derivou , põe no final!
- Depois de derivados todos os termos, é só isolar no lado esquerdo! Taí nossa derivada implícita!
Vamos lá?
tomando a derivada de todos os termos da equação:
Derivando normalmente, e sabendo que derivada de constante é zero temos:
E agora vem a derivada em ! Usando a regra do produto e quando for derivar , colocando no final, fica assim:
Estamos quase lá! Agora e só isolar esse !
Pronto! Está aqui nossa derivada implícita ! E a resposta do item (1), beleza?
Passo 3
Agora o item (2) pede para isolarmos ! Então vamos relembrar qual é nossa equação:
E aqui não tem truque! É álgebra purinha lá do colégio mesmo!
E agora dividindo por :
Tranquilo? Está aqui a resposta do item (2)! Vamos para o terceiro?
Passo 4
O item (3) pede para, usando o resultado do item (2), achar a derivada de ! Então vamos lá! É só derivar a expressão que encontramos ali no fim do passo 3:
Aqui precisamos usar a regra do quociente:
Tudo bem, até aqui?
essa é a resposta para o item (3)! Vamos para o último item?
Passo 5
Agora no item (4) o problema pede para resgatarmos a derivação implícita feita no item (1), – aquela que está em função de – e com a expressão de isolado do item (2), substituir na derivação implícita e comparar o resultado com a derivação do item (3).
Do item (1) a gente achou:
Do item (2) achamos isolado:
E substituindo em temos:
Vou multiplicar em cima e embaixo por :
E agora agrupando os termos semelhantes temos a expressão para :
Beleza? Agora vamos comparar com o resultado do item (3):
É isso aí! Deu certo! Caso você encontre outro resultado, olha com carinho seus outros passos, tá bem?
A ideia desse problema é fazer você perceber que o resultado da derivação é o mesmo, seja derivando logo de cara implicitamente, ou isolando o e depois derivando.
Beleza?
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?