UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 8.42a
Considere a curva definida pela equação .
(a) Calcule .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos pediu pra gente calcular a derivada de em relação a , , da equação . Mas repare que e estão meio meio misturadinhos na equação, então podemos dizer que essa é uma expressão implícita.
E pra achar a derivada de uma expressão desse tipo, usamos a derivada implícita, certo? Então, vamos tomar a derivada em relação a em ambos os lados da equação e nos termos em que tivermos um produto entre variáveis, usamos a regra do produto e acrescentamos na derivada da variável .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar tomando a derivada dos dois lados da equação:
Como a derivada de constante é zero, ficamos com o seguinte:
A derivada da soma é a soma das derivadas, então podemos separar os termos:
Como o primeiro termo contém apenas , nós podemos derivar normalmente, usando a regrinha da potência ():
Nas expressões que dependem também da variável , nós consideramos ela uma função de , ou seja, . Assim, nós acabamos usando a regra da cadeia na derivação, derivando a função de fora, que seria o , e multiplicando pela derivada da função de dentro. Fica assim:
No último termo, como a gente tem um produto de funções, nós aplicamos também a regra do produto:
Passo 3
Agora vamos arrumar nossa expressão, colocando em evidência:
Simplificando e escrevendo :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉