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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 24g

24. Use derivação implícita para calcular d y d x nos itens a seguir:

g) x 2 y 2 = x 2 + y 2

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, nosso objetivo é obter a derivada implícita d y d x da equação x 2 y 2 = x 2 + y 2 .

Parece difícil fazer isso? 🤔

Para calcular a derivada implícita de uma equação temos que passar todos os termos da equação para um lado e fazer f = 0 e aplicar a razão

d y d x = - f x f y

Ou seja, temos que derivar f parcialmente em relação a x e y e substituir na equação da derivada implícita.

Bora começar! 😉

Passo 2

Passando todos os termos da equação para um lado

x 2 y 2 = x 2 + y 2 → x 2 y 2 - x 2 - y 2 = 0

Fazendo f = 0

f = 0 = x 2 y 2 - x 2 - y 2

f = x 2 y 2 - x 2 - y 2

Calculando as derivadas parciais de f .

Primeiro com relação a x

f x = ∂ x 2 y 2 - x 2 - y 2 ∂ x = 2 x y 2 - 2 x

Agora com relação a y

f y = ∂ x 2 y 2 - x 2 - y 2 ∂ y = 2 x 2 y - 2 y

E por fim, substituindo na derivada implícita, temos

d y d x = - f x f y = - 2 x y 2 - 2 x 2 x 2 y - 2 y

d y d x = - x y 2 - x x 2 y - y

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

d y d x = - x y 2 - x x 2 y - y

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Encontre d y // d x derivando implicitamente.x^2 + y^3 = 1
Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub