Obtenha y' (x) sabendo que y * x + sen(xy) = cos(xy) .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos a derivada d y d x da seguinte função:

y x + sin ⁡ x y = c o s ⁡ ( x y )

Para isso, temos que derivar termo por termo através da derivada implícita (pois não podemos isolar explicitamente a variável y ).

Fazendo isso, veremos que teremos termos d y d x e aí é só fazermos algumas manipulações algébricas para isolar esse termo!!

Para ficar mais simples, vamos fazer d y d x = y ' .

Quer saber como? Então bora junto!!

😉

Passo 2

Assim, derivando cada termo, temos:

y x ' + sin ⁡ x y ' = cos ⁡ x y '

Derivando o primeiro termo da esquerda y x :

y x ' = y d d x x + x d d x y ∴

y x ' = y + x y '

Derivando o segundo termo da esquerda pela regra da cadeia sin ⁡ x y :

sin ⁡ x y ' = cos ⁡ x y d d x x y ∴

sin ⁡ x y ' = x   cos ⁡ x y y ' + cos ⁡ x y

Agora, derivando o termo da direita cos ⁡ x y ' :

cos ⁡ x y ' = - sin ⁡ x y d d x x y ∴

cos ⁡ x y ' = - x   sin ⁡ x y y '

Passo 3

Substituindo os valores encontrados na equação principal, temos:

y x ' + sin ⁡ x y ' = cos ⁡ x y ' ∴

y + x y ' + x   cos ⁡ x y y ' + cos ⁡ x y = - x   sin ⁡ x y y ' ∴

Isolando y ' :

y ' = d x d y = - y + cos ��� x y x + x cos ⁡ ( x y ) + x sin ⁡ x y

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d x d y = - y + cos ⁡ x y x + x cos ⁡ ( x y ) + x sin ⁡ x y

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