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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 1 – Lista 6 – Questão 7

Considere y como a variável independente e x como a variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x d y , sabendo que x 4 y 2 - x 3 y + 2 x y 3 = 0

Passo 1

Dessa vez perceba que não é y que é dado como função de x , é o contrário! x é dado implicitamente como função de y . Então devemos derivar implicitamente com relação a y .

Passo 2

Derivando a equação implicitamente, temos:

4 x 3 d x d y y 2 + x 4 2 y - 3 x 2 d x d y y - x 3 + 2 d x d y y 3 + 2 x 3 y 2 = 0

Logo,

4 x 3 y 2 d x d y + 2 x 4 y - 3 x 2 y d x d y - x 3 + 2 y 3 d x d y + 6 x y 2 = 0

Passo 3

Isolando d x d y

d x d y 4 x 3 y 2 - 3 x 2 y + 2 y 3 = x 3 - 2 x 4 y - 6 x y 2

d x d y = x 3 - 2 x 4 y - 6 x y 2 4 x 3 y 2 - 3 x 2 y + 2 y 3 = x x 2 - 2 x 3 y - 6 y 2 y 4 x 3 y - 3 x 2 + 2 y 2

Resposta

d x d y = x x 2 - 2 x 3 y - 6 y 2 y 4 x 3 y - 3 x 2 + 2 y 2

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Exercício de Livro
Encontre d y // d x derivando implicitamente.x^2 + y^3 = 1
Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub