24. Use derivação implícita para calcular dy / dx nos itens a seguir:

c) x^3 + y^3 = 8xy

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema, nosso objetivo é obter a derivada implícita d y d x da equação x 3 + y 3 = 8 x y .

Parece difícil fazer isso? 🤔

Para calcular a derivada implícita de uma equação temos que passar todos os termos da equação para um lado e fazer f = 0 e aplicar a razão

d y d x = - f x f y

Ou seja, temos que derivar f parcialmente em relação a x e y e substituir na equação da derivada implícita.

Bora começar! 😉

Passo 2

Passando todos os termos da equação para um lado

x 3 + y 3 = 8 x y → x 3 + y 3 - 8 x y = 0

Fazendo f = 0

f = 0 = x 3 + y 3 - 8 x y

f = x 3 + y 3 - 8 x y

Calculando as derivadas parciais de f .

Primeiro com relação a x

f x = ∂ x 3 + y 3 - 8 x y ∂ x = 3 x 2 - 8 y

Agora com relação a y

f y = ∂ x 3 + y 3 - 8 x y ∂ y = 3 y 2 - 8 x

E por fim, substituindo na derivada implícita, temos

d y d x = - f x f y = - 3 x 2 - 8 y 3 y 2 - 8 x

d y d x = - 3 x 2 - 8 y 3 y 2 - 8 x

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

d y d x = - 3 x 2 - 8 y 3 y 2 - 8 x

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