UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, 2° Estágio - 2022.1, Questão 5
Use derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
Passo 1
Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1.
Nosso objetivo é encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
Como fazemos isso? Vale lembrar que para conseguirmos a equação da reta tangente precisamos de duas coisas, o coeficiente angular da reta e um ponto. No nosso caso o ponto é . Mas qual é o coeficiente angular da reta tangente? Ora se a reta é tangente então o coeficiente angular será a própria derivada da curva. Lembram que a derivada dá o coeficiente da reta tangente? Show?
Mas para montar a reta, como fazemos? Bem se é o coeficiente angular, e é um ponto dessa reta, então a reta pode ser definida como:
Com isso em mente, vamos começar calculando a derivada implícita da nossa curva
Passo 2
Como a nossa curva é
A sua derivada implícita é:
Usando a linearidade da derivada:
Usando a derivada do produto:
Usando a regra da cadeia:
Mudando a notação ( )
Ou seja, nossa derivada é:
Passo 3
Já calculamos a nossa derivada, agora precisamos montar a reta tangente ao ponto . E para isso precisamos do coeficiente angular da reta nesse ponto, que, como falamos no passo 1, é a derivada avaliada nesse ponto. Então,
fazendo temos:
Prontinho, agora podemos montar a equação da reta. Se é o coeficiente angular, e é um ponto dessa reta, então a reta pode ser definida como:
No nosso caso, . Então a reta é
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊